微分積分例

$- x y^{3} + 5 y = 3 - x^{3}$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (- x y^{3} + 5 y) = \frac{d}{d x} (3 - x^{3})$

ステップ 2

方程式の左辺を微分します。

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ステップ 2.1

総和則では、 $- x y^{3} + 5 y$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- x y^{3}] + \frac{d}{d x} [5 y]$ です。

$\frac{d}{d x} [- x y^{3}] + \frac{d}{d x} [5 y]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [- x y^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x y^{3}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x y^{3}]$ です。

$- \frac{d}{d x} [x y^{3}] + \frac{d}{d x} [5 y]$

ステップ 2.2.2

$f (x) = x$ および $g (x) = y^{3}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$- (x \frac{d}{d x} [y^{3}] + y^{3} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [5 y]$

ステップ 2.2.3

$f (x) = x^{3}$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.2.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $y$ とします。

$- (x (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [5 y]$

ステップ 2.2.3.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- (x (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [5 y]$

ステップ 2.2.3.3

$u$ のすべての発生を $y$ で置き換えます。

$- (x (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [5 y]$

ステップ 2.2.4

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$- (x (3 y^{2} y') + y^{3} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [5 y]$

ステップ 2.2.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- (x (3 y^{2} y') + y^{3} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [5 y]$

ステップ 2.2.6

$3$ を $x$ の左に移動させます。

$- (3 \cdot x y^{2} y' + y^{3} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [5 y]$

ステップ 2.2.7

$y^{3}$ に $1$ をかけます。

$- (3 x y^{2} y' + y^{3}) + \frac{d}{d x} [5 y]$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [5 y]$ の値を求めます。

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ステップ 2.3.1

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 y$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [y]$ です。

$- (3 x y^{2} y' + y^{3}) + 5 \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 2.3.2

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$- (3 x y^{2} y' + y^{3}) + 5 y'$

ステップ 2.4

簡約します。

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ステップ 2.4.1

分配則を当てはめます。

$- (3 x y^{2} y') - y^{3} + 5 y'$

ステップ 2.4.2

$3$ に $- 1$ をかけます。

$- 3 x y^{2} y' - y^{3} + 5 y'$

ステップ 2.4.3

項を並べ替えます。

$- y^{3} - 3 y^{2} x y' + 5 y'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

微分します。

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ステップ 3.1.1

総和則では、 $3 - x^{3}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ です。

$\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

ステップ 3.1.2

$3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $3$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

ステップ 3.2

$\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ の値を求めます。

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ステップ 3.2.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{3}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$0 - \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 3.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 - (3 x^{2})$

ステップ 3.2.3

$3$ に $- 1$ をかけます。

$0 - 3 x^{2}$

ステップ 3.3

$0$ から $3 x^{2}$ を引きます。

$- 3 x^{2}$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$- y^{3} - 3 y^{2} x y' + 5 y' = - 3 x^{2}$

ステップ 5

$y'$ について解きます。

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ステップ 5.1

方程式の両辺に $y^{3}$ を足します。

$- 3 y^{2} x y' + 5 y' = - 3 x^{2} + y^{3}$

ステップ 5.2

$y'$ を $- 3 y^{2} x y' + 5 y'$ で因数分解します。

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ステップ 5.2.1

$y'$ を $- 3 y^{2} x y'$ で因数分解します。

$y' (- 3 y^{2} x) + 5 y' = - 3 x^{2} + y^{3}$

ステップ 5.2.2

$y'$ を $5 y'$ で因数分解します。

$y' (- 3 y^{2} x) + y' \cdot 5 = - 3 x^{2} + y^{3}$

ステップ 5.2.3

$y'$ を $y' (- 3 y^{2} x) + y' \cdot 5$ で因数分解します。

$y' (- 3 y^{2} x + 5) = - 3 x^{2} + y^{3}$

ステップ 5.3

$y' (- 3 y^{2} x + 5) = - 3 x^{2} + y^{3}$ の各項を $- 3 y^{2} x + 5$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.3.1

$y' (- 3 y^{2} x + 5) = - 3 x^{2} + y^{3}$ の各項を $- 3 y^{2} x + 5$ で割ります。

$\frac{y' (- 3 y^{2} x + 5)}{- 3 y^{2} x + 5} = \frac{- 3 x^{2}}{- 3 y^{2} x + 5} + \frac{y^{3}}{- 3 y^{2} x + 5}$

ステップ 5.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.3.2.1

$- 3 y^{2} x + 5$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y' (- 3 y^{2} x + 5)}{- 3 y^{2} x + 5} = \frac{- 3 x^{2}}{- 3 y^{2} x + 5} + \frac{y^{3}}{- 3 y^{2} x + 5}$

ステップ 5.3.2.1.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{- 3 x^{2}}{- 3 y^{2} x + 5} + \frac{y^{3}}{- 3 y^{2} x + 5}$

ステップ 5.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.3.3.1

公分母の分子をまとめます。

$y' = \frac{- 3 x^{2} + y^{3}}{- 3 y^{2} x + 5}$

ステップ 5.3.3.2

$- 1$ を $- 3 x^{2}$ で因数分解します。

$y' = \frac{- (3 x^{2}) + y^{3}}{- 3 y^{2} x + 5}$

ステップ 5.3.3.3

$- 1$ を $y^{3}$ で因数分解します。

$y' = \frac{- (3 x^{2}) - 1 (- y^{3})}{- 3 y^{2} x + 5}$

ステップ 5.3.3.4

$- 1$ を $- (3 x^{2}) - 1 (- y^{3})$ で因数分解します。

$y' = \frac{- (3 x^{2} - y^{3})}{- 3 y^{2} x + 5}$

ステップ 5.3.3.5

$- (3 x^{2} - y^{3})$ を $- 1 (3 x^{2} - y^{3})$ に書き換えます。

$y' = \frac{- 1 (3 x^{2} - y^{3})}{- 3 y^{2} x + 5}$

ステップ 5.3.3.6

$- 1$ を $- 3 y^{2} x$ で因数分解します。

$y' = \frac{- 1 (3 x^{2} - y^{3})}{- (3 y^{2} x) + 5}$

ステップ 5.3.3.7

$5$ を $- 1 (- 5)$ に書き換えます。

$y' = \frac{- 1 (3 x^{2} - y^{3})}{- (3 y^{2} x) - 1 (- 5)}$

ステップ 5.3.3.8

$- 1$ を $- (3 y^{2} x) - 1 (- 5)$ で因数分解します。

$y' = \frac{- 1 (3 x^{2} - y^{3})}{- (3 y^{2} x - 5)}$

ステップ 5.3.3.9

$- (3 y^{2} x - 5)$ を $- 1 (3 y^{2} x - 5)$ に書き換えます。

$y' = \frac{- 1 (3 x^{2} - y^{3})}{- 1 (3 y^{2} x - 5)}$

ステップ 5.3.3.10

共通因数を約分します。

$y' = \frac{- 1 (3 x^{2} - y^{3})}{- 1 (3 y^{2} x - 5)}$

ステップ 5.3.3.11

式を書き換えます。

$y' = \frac{3 x^{2} - y^{3}}{3 y^{2} x - 5}$

ステップ 6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x^{2} - y^{3}}{3 y^{2} x - 5}$

微分積分 例

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