微分積分例

$(x^{2} - \frac{5}{4}) e^{x}$

ステップ 1

$f (x) = x^{2} - \frac{5}{4}$ および $g (x) = e^{x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$(x^{2} - \frac{5}{4}) \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2} - \frac{5}{4}]$

ステップ 2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$(x^{2} - \frac{5}{4}) e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2} - \frac{5}{4}]$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

総和則では、 $x^{2} - \frac{5}{4}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{4}]$ です。

$(x^{2} - \frac{5}{4}) e^{x} + e^{x} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{4}])$

ステップ 3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(x^{2} - \frac{5}{4}) e^{x} + e^{x} (2 x + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{4}])$

ステップ 3.3

$- \frac{5}{4}$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- \frac{5}{4}$ の微分係数は $0$ です。

$(x^{2} - \frac{5}{4}) e^{x} + e^{x} (2 x + 0)$

ステップ 3.4

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$(x^{2} - \frac{5}{4}) e^{x} + e^{x} (2 x)$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

分配則を当てはめます。

$x^{2} e^{x} - \frac{5}{4} e^{x} + e^{x} (2 x)$

ステップ 4.2

項を並べ替えます。

$e^{x} x^{2} - \frac{5}{4} e^{x} + 2 e^{x} x$

ステップ 4.3

各項を簡約します。

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ステップ 4.3.1

$e^{x}$ と $\frac{5}{4}$ をまとめます。

$e^{x} x^{2} - \frac{e^{x} \cdot 5}{4} + 2 e^{x} x$

ステップ 4.3.2

$5$ を $e^{x}$ の左に移動させます。

$e^{x} x^{2} - \frac{5 e^{x}}{4} + 2 e^{x} x$

ステップ 4.4

$e^{x} x^{2}$ から $\frac{5 e^{x}}{4}$ を引きます。

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ステップ 4.4.1

$e^{x}$ と $x^{2}$ を並べ替えます。

$x^{2} e^{x} - \frac{5 e^{x}}{4} + 2 e^{x} x$

ステップ 4.4.2

$x^{2} e^{x}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$x^{2} e^{x} \cdot \frac{4}{4} - \frac{5 e^{x}}{4} + 2 e^{x} x$

ステップ 4.4.3

$x^{2} e^{x}$ と $\frac{4}{4}$ をまとめます。

$\frac{x^{2} e^{x} \cdot 4}{4} - \frac{5 e^{x}}{4} + 2 e^{x} x$

ステップ 4.4.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{x^{2} e^{x} \cdot 4 - 5 e^{x}}{4} + 2 e^{x} x$

ステップ 4.5

分子を簡約します。

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ステップ 4.5.1

$4$ を $x^{2} e^{x}$ の左に移動させます。

$\frac{4 \cdot (x^{2} e^{x}) - 5 e^{x}}{4} + 2 e^{x} x$

ステップ 4.5.2

$e^{x}$ を $4 x^{2} e^{x} - 5 e^{x}$ で因数分解します。

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ステップ 4.5.2.1

$e^{x}$ を $4 x^{2} e^{x}$ で因数分解します。

$\frac{e^{x} (4 x^{2}) - 5 e^{x}}{4} + 2 e^{x} x$

ステップ 4.5.2.2

$e^{x}$ を $- 5 e^{x}$ で因数分解します。

$\frac{e^{x} (4 x^{2}) + e^{x} \cdot - 5}{4} + 2 e^{x} x$

ステップ 4.5.2.3

$e^{x}$ を $e^{x} (4 x^{2}) + e^{x} \cdot - 5$ で因数分解します。

$\frac{e^{x} (4 x^{2} - 5)}{4} + 2 e^{x} x$

ステップ 4.6

$2 e^{x} x$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$\frac{e^{x} (4 x^{2} - 5)}{4} + 2 e^{x} x \cdot \frac{4}{4}$

ステップ 4.7

$2 e^{x} x$ と $\frac{4}{4}$ をまとめます。

$\frac{e^{x} (4 x^{2} - 5)}{4} + \frac{2 e^{x} x \cdot 4}{4}$

ステップ 4.8

公分母の分子をまとめます。

$\frac{e^{x} (4 x^{2} - 5) + 2 e^{x} x \cdot 4}{4}$

ステップ 4.9

分子を簡約します。

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ステップ 4.9.1

$e^{x}$ を $e^{x} (4 x^{2} - 5) + 2 e^{x} x \cdot 4$ で因数分解します。

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ステップ 4.9.1.1

$e^{x}$ を $2 e^{x} x \cdot 4$ で因数分解します。

$\frac{e^{x} (4 x^{2} - 5) + e^{x} (2 x \cdot 4)}{4}$

ステップ 4.9.1.2

$e^{x}$ を $e^{x} (4 x^{2} - 5) + e^{x} (2 x \cdot 4)$ で因数分解します。

$\frac{e^{x} (4 x^{2} - 5 + 2 x \cdot 4)}{4}$

ステップ 4.9.2

$4$ に $2$ をかけます。

$\frac{e^{x} (4 x^{2} - 5 + 8 x)}{4}$

ステップ 4.9.3

項を並べ替えます。

$\frac{e^{x} (4 x^{2} + 8 x - 5)}{4}$

ステップ 4.9.4

群による因数分解。

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ステップ 4.9.4.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = 4 \cdot - 5 = - 20$ で和が $b = 8$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

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ステップ 4.9.4.1.1

$8$ を $8 x$ で因数分解します。

$\frac{e^{x} (4 x^{2} + 8 (x) - 5)}{4}$

ステップ 4.9.4.1.2

$8$ を $- 2$ プラス $10$ に書き換える

$\frac{e^{x} (4 x^{2} + (- 2 + 10) x - 5)}{4}$

ステップ 4.9.4.1.3

分配則を当てはめます。

$\frac{e^{x} (4 x^{2} - 2 x + 10 x - 5)}{4}$

ステップ 4.9.4.2

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 4.9.4.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$\frac{e^{x} ((4 x^{2} - 2 x) + 10 x - 5)}{4}$

ステップ 4.9.4.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$\frac{e^{x} (2 x (2 x - 1) + 5 (2 x - 1))}{4}$

ステップ 4.9.4.3

最大公約数 $2 x - 1$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$\frac{e^{x} ((2 x - 1) (2 x + 5))}{4}$

$\frac{e^{x} (2 x - 1) (2 x + 5)}{4}$

微分積分 例

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