微分積分例

$y = \frac{x - 6}{4 x}$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

$\frac{1}{4}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{x - 6}{4 x}$ の微分係数は $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{x - 6}{x}]$ です。

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{x - 6}{x}]$

ステップ 1.2

$f (x) = x - 6$ および $g (x) = x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x \frac{d}{d x} [x - 6] - (x - 6) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 1.3

微分します。

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ステップ 1.3.1

総和則では、 $x - 6$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ です。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]) - (x - 6) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x (1 + \frac{d}{d x} [- 6]) - (x - 6) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 1.3.3

$- 6$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 6$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x (1 + 0) - (x - 6) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 1.3.4

式を簡約します。

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ステップ 1.3.4.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x \cdot 1 - (x - 6) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 1.3.4.2

$x$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x - (x - 6) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 1.3.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x - (x - 6) \cdot 1}{x^{2}}$

ステップ 1.3.6

分数をまとめます。

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ステップ 1.3.6.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x - (x - 6)}{x^{2}}$

ステップ 1.3.6.2

$\frac{1}{4}$ に $\frac{x - (x - 6)}{x^{2}}$ をかけます。

$\frac{x - (x - 6)}{4 x^{2}}$

ステップ 1.4

簡約します。

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ステップ 1.4.1

分配則を当てはめます。

$\frac{x - x - - 6}{4 x^{2}}$

ステップ 1.4.2

分子を簡約します。

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ステップ 1.4.2.1

$x$ から $x$ を引きます。

$\frac{0 - - 6}{4 x^{2}}$

ステップ 1.4.2.2

$0$ から $- 6$ を引きます。

$\frac{- - 6}{4 x^{2}}$

ステップ 1.4.2.3

$- 1$ に $- 6$ をかけます。

$\frac{6}{4 x^{2}}$

ステップ 1.4.3

$6$ と $4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.4.3.1

$2$ を $6$ で因数分解します。

$\frac{2 (3)}{4 x^{2}}$

ステップ 1.4.3.2

共通因数を約分します。

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ステップ 1.4.3.2.1

$2$ を $4 x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{2 (3)}{2 (2 x^{2})}$

ステップ 1.4.3.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 \cdot 3}{2 (2 x^{2})}$

ステップ 1.4.3.2.3

式を書き換えます。

$f' (x) = \frac{3}{2 x^{2}}$

ステップ 2

二次導関数を求めます。

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ステップ 2.1

$\frac{3}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{3}{2 x^{2}}$ の微分係数は $\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ です。

$\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

ステップ 2.2

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 2.2.1

$\frac{1}{x^{2}}$ を ${(x^{2})}^{- 1}$ に書き換えます。

$\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}]$

ステップ 2.2.2

${(x^{2})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.2.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{2 \cdot - 1}]$

ステップ 2.2.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$

ステップ 2.3

$n = - 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{3}{2} (- 2 x^{- 3})$

ステップ 2.4

項を簡約します。

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ステップ 2.4.1

$- 2$ と $\frac{3}{2}$ をまとめます。

$\frac{- 2 \cdot 3}{2} x^{- 3}$

ステップ 2.4.2

$- 2$ に $3$ をかけます。

$\frac{- 6}{2} x^{- 3}$

ステップ 2.4.3

$\frac{- 6}{2}$ と $x^{- 3}$ をまとめます。

$\frac{- 6 x^{- 3}}{2}$

ステップ 2.4.4

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- 3}$ を分母に移動させます。

$\frac{- 6}{2 x^{3}}$

ステップ 2.4.5

$- 6$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.4.5.1

$2$ を $- 6$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot - 3}{2 x^{3}}$

ステップ 2.4.5.2

共通因数を約分します。

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ステップ 2.4.5.2.1

$2$ を $2 x^{3}$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot - 3}{2 (x^{3})}$

ステップ 2.4.5.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 \cdot - 3}{2 x^{3}}$

ステップ 2.4.5.2.3

式を書き換えます。

$\frac{- 3}{x^{3}}$

ステップ 2.4.6

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (x) = - \frac{3}{x^{3}}$

ステップ 3

三次導関数を求めます。

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ステップ 3.1

$- 3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{3}{x^{3}}$ の微分係数は $- 3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ です。

$- 3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

ステップ 3.2

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 3.2.1

$\frac{1}{x^{3}}$ を ${(x^{3})}^{- 1}$ に書き換えます。

$- 3 \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}]$

ステップ 3.2.2

${(x^{3})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 3.2.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- 3 \frac{d}{d x} [x^{3 \cdot - 1}]$

ステップ 3.2.2.2

$3$ に $- 1$ をかけます。

$- 3 \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$

ステップ 3.3

$n = - 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 3 (- 3 x^{- 4})$

ステップ 3.4

$- 3$ に $- 3$ をかけます。

$9 x^{- 4}$

ステップ 3.5

簡約します。

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ステップ 3.5.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$9 \frac{1}{x^{4}}$

ステップ 3.5.2

$9$ と $\frac{1}{x^{4}}$ をまとめます。

$f''' (x) = \frac{9}{x^{4}}$

微分積分 例

微分積分例