微分積分例

$e^{x} (2 + \frac{e^{- x}}{\cos^{2} (x)})$

ステップ 1

$e^{x} (2 + \frac{e^{- x}}{\cos^{2} (x)})$ を関数で書きます。

$f (x) = e^{x} (2 + \frac{e^{- x}}{\cos^{2} (x)})$

ステップ 2

関数 $F (x)$ は、微分係数 $f (x)$ の不定積分を求めることで求められます。

$F (x) = \int f (x) d x$

ステップ 3

積分を設定し解きます。

$F (x) = \int e^{x} (2 + \frac{e^{- x}}{\cos^{2} (x)}) d x$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.1.1

$1$ を掛けます。

$\int e^{x} (2 + \frac{e^{- x}}{\cos^{2} (x) \cdot 1}) d x$

ステップ 4.1.2

分数を分解します。

$\int e^{x} (2 + \frac{e^{- x}}{1} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (x)}) d x$

ステップ 4.1.3

$\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ を $\sec^{2} (x)$ に変換します。

$\int e^{x} (2 + \frac{e^{- x}}{1} \sec^{2} (x)) d x$

ステップ 4.1.4

$e^{- x}$ を $1$ で割ります。

$\int e^{x} (2 + e^{- x} \sec^{2} (x)) d x$

ステップ 4.2

分配則を当てはめます。

$\int e^{x} \cdot 2 + e^{x} (e^{- x} \sec^{2} (x)) d x$

ステップ 4.3

$2$ を $e^{x}$ の左に移動させます。

$\int 2 \cdot e^{x} + e^{x} (e^{- x} \sec^{2} (x)) d x$

ステップ 4.4

指数を足して $e^{x}$ に $e^{- x}$ を掛けます。

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ステップ 4.4.1

$e^{- x}$ を移動させます。

$\int 2 \cdot e^{x} + e^{- x} e^{x} \sec^{2} (x) d x$

ステップ 4.4.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int 2 \cdot e^{x} + e^{- x + x} \sec^{2} (x) d x$

ステップ 4.4.3

$- x$ と $x$ をたし算します。

$\int 2 \cdot e^{x} + e^{0} \sec^{2} (x) d x$

ステップ 4.5

$e^{0} \sec^{2} (x)$ を簡約します。

$\int 2 e^{x} + \sec^{2} (x) d x$

ステップ 5

単一積分を複数積分に分割します。

$\int 2 e^{x} d x + \int \sec^{2} (x) d x$

ステップ 6

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$2 \int e^{x} d x + \int \sec^{2} (x) d x$

ステップ 7

$e^{x}$ の $x$ に関する積分は $e^{x}$ です。

$2 (e^{x} + C) + \int \sec^{2} (x) d x$

ステップ 8

$\tan (x)$ の微分係数が $\sec^{2} (x)$ なので、 $\sec^{2} (x)$ の積分は $\tan (x)$ です。

$2 (e^{x} + C) + \tan (x) + C$

ステップ 9

簡約します。

$2 e^{x} + \tan (x) + C$

ステップ 10

答えは関数 $f (x) = e^{x} (2 + \frac{e^{- x}}{\cos^{2} (x)})$ の不定積分です。

$F (x) =$ $2 e^{x} + \tan (x) + C$

微分積分 例

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