微分積分例

$\sum_{k = 1}^{8} - 1 (\frac{2}{3}) k - 1$

ステップ 1

総和を簡約します。

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ステップ 1.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.1.1

$- 1 (\frac{2}{3})$ を $- (\frac{2}{3})$ に書き換えます。

$- (\frac{2}{3}) \cdot k - 1$

ステップ 1.1.2

$k$ と $\frac{2}{3}$ をまとめます。

$- \frac{k \cdot 2}{3} - 1$

ステップ 1.1.3

$2$ を $k$ の左に移動させます。

$- \frac{2 k}{3} - 1$

$- \frac{2 k}{3} - 1$

ステップ 1.2

総和を書き換えます。

$\sum_{k = 1}^{8} - \frac{2 k}{3} - 1$

$\sum_{k = 1}^{8} - \frac{2 k}{3} - 1$

ステップ 2

総和の法則に合う小さい総和に総和を分割します。

$\sum_{k = 1}^{8} - \frac{2 k}{3} - 1 = \sum_{k = 1}^{8} - \frac{2 k}{3} + \sum_{k = 1}^{8} - 1$

ステップ 3

$\sum_{k = 1}^{8} - \frac{2 k}{3}$ の値を求めます。

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ステップ 3.1

総和から因数 $- \frac{2}{3}$ をくくり出します。

$(- \frac{2}{3}) \sum_{k = 1}^{8} k$

ステップ 3.2

次数 $1$ をもつ多項式の総和の公式は：

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

ステップ 3.3

値を公式に代入して、必ず前の項を掛けます。

$(- \frac{2}{3}) (\frac{8 (8 + 1)}{2})$

ステップ 3.4

簡約します。

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ステップ 3.4.1

式を簡約します。

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ステップ 3.4.1.1

$8$ と $1$ をたし算します。

$- \frac{2}{3} \cdot \frac{8 \cdot 9}{2}$

ステップ 3.4.1.2

$8$ に $9$ をかけます。

$- \frac{2}{3} \cdot \frac{72}{2}$

$- \frac{2}{3} \cdot \frac{72}{2}$

ステップ 3.4.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.4.2.1

$- \frac{2}{3}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{- 2}{3} \cdot \frac{72}{2}$

ステップ 3.4.2.2

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$\frac{2 (- 1)}{3} \cdot \frac{72}{2}$

ステップ 3.4.2.3

共通因数を約分します。

$\frac{2 \cdot - 1}{3} \cdot \frac{72}{2}$

ステップ 3.4.2.4

式を書き換えます。

$\frac{- 1}{3} \cdot 72$

$\frac{- 1}{3} \cdot 72$

ステップ 3.4.3

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.4.3.1

$3$ を $72$ で因数分解します。

$\frac{- 1}{3} \cdot (3 (24))$

ステップ 3.4.3.2

共通因数を約分します。

$\frac{- 1}{3} \cdot (3 \cdot 24)$

ステップ 3.4.3.3

式を書き換えます。

$- 1 \cdot 24$

$- 1 \cdot 24$

ステップ 3.4.4

$- 1$ に $24$ をかけます。

$- 24$

$- 24$

$- 24$

ステップ 4

$\sum_{k = 1}^{8} - 1$ の値を求めます。

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ステップ 4.1

定数の総和の公式は：

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

ステップ 4.2

値を公式に代入します。

$(- 1) (8)$

ステップ 4.3

$- 1$ に $8$ をかけます。

$- 8$

$- 8$

ステップ 5

合計した結果を足します。

$- 24 - 8$

ステップ 6

$- 24$ から $8$ を引きます。

$- 32$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$