微分積分例

$f (x) = {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ および $g (x) = x^{2} - 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2} - 4$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{2}{3}}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]$

ステップ 1.1.2

$n = \frac{2}{3}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]$

ステップ 1.1.3

$u$ のすべての発生を $x^{2} - 4$ で置き換えます。

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]$

ステップ 1.2

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]$

ステップ 1.3

$- 1$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]$

ステップ 1.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 4)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]$

ステップ 1.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 4)}^{\frac{2 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]$

ステップ 1.5.2

$2$ から $3$ を引きます。

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 4)}^{\frac{- 1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]$

ステップ 1.6

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.6.1

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 4)}^{- \frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]$

ステップ 1.6.2

$\frac{2}{3}$ と ${(x^{2} - 4)}^{- \frac{1}{3}}$ をまとめます。

$\frac{2 {(x^{2} - 4)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]$

ステップ 1.6.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(x^{2} - 4)}^{- \frac{1}{3}}$ を分母に移動させます。

$\frac{2}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]$

ステップ 1.7

総和則では、 $x^{2} - 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ です。

$\frac{2}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4])$

ステップ 1.8

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{2}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}} (2 x + \frac{d}{d x} [- 4])$

ステップ 1.9

$- 4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 4$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{2}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}} (2 x + 0)$

ステップ 1.10

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.10.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{2}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}} (2 x)$

ステップ 1.10.2

$2$ と $\frac{2}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}}$ をまとめます。

$\frac{2 \cdot 2}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}} x$

ステップ 1.10.3

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{4}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}} x$

ステップ 1.10.4

$\frac{4}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{4 x}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$\frac{4}{3}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{4 x}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}}$ の微分係数は $\frac{4}{3} \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}}]$ です。

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}})$

ステップ 2.2

$f (x) = x$ および $g (x) = {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}}{{({(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

ステップ 2.3

べき乗則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

${({(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3} \cdot 2}}$

ステップ 2.3.1.2

$\frac{1}{3}$ と $2$ をまとめます。

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 2.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 2.3.3

${(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} - x \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 2.4

$f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ および $g (x) = x^{2} - 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2} - 4$ とします。

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{3}}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 4))}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 2.4.2

$n = \frac{1}{3}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4))}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 2.4.3

$u$ のすべての発生を $x^{2} - 4$ で置き換えます。

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3} \cdot {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4))}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 2.5

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3} \cdot {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4))}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 2.6

$- 1$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3} \cdot {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4))}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 2.7

公分母の分子をまとめます。

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3} \cdot {(x^{2} - 4)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4))}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 2.8

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.8.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3} \cdot {(x^{2} - 4)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4))}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 2.8.2

$1$ から $3$ を引きます。

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3} \cdot {(x^{2} - 4)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4))}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 2.9

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.9.1

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3} \cdot {(x^{2} - 4)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4))}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 2.9.2

$\frac{1}{3}$ と ${(x^{2} - 4)}^{- \frac{2}{3}}$ をまとめます。

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{{(x^{2} - 4)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 4))}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 2.9.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(x^{2} - 4)}^{- \frac{2}{3}}$ を分母に移動させます。

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 4))}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 2.9.4

$\frac{1}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$ と $x$ をまとめます。

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} - \frac{x}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 2.10

総和則では、 $x^{2} - 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ です。

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} - \frac{x}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4))}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 2.11

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} - \frac{x}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (2 x + \frac{d}{d x} (- 4))}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 2.12

$- 4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 4$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} - \frac{x}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (2 x + 0)}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 2.13

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.13.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} - \frac{x}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (2 x)}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 2.13.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} - 2 \frac{x}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}} \cdot x}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 2.13.3

$- 2$ と $\frac{x}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$ をまとめます。

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} + \frac{- 2 x}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}} \cdot x}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 2.13.4

$\frac{- 2 x}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$ と $x$ をまとめます。

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} + \frac{- 2 x \cdot x}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 2.14

$x$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} + \frac{- 2 (x \cdot x)}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 2.15

$x$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} + \frac{- 2 (x \cdot x)}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 2.16

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} + \frac{- 2 x^{1 + 1}}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 2.17

$1$ と $1$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} + \frac{- 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 2.18

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} - \frac{2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 2.19

${(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$ を掛けます。

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} \cdot \frac{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}} - \frac{2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 2.20

${(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}$ と $\frac{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$ をまとめます。

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{\frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}})}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}} - \frac{2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 2.21

公分母の分子をまとめます。

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{\frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 2.22

指数を足して ${(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}$ に ${(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.22.1

${(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}$ を移動させます。

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{\frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}} {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} \cdot 3 - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 2.22.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{\frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}} \cdot 3 - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 2.22.3

公分母の分子をまとめます。

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{\frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2 + 1}{3}} \cdot 3 - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 2.22.4

$2$ と $1$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{\frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{3}} \cdot 3 - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 2.22.5

$3$ を $3$ で割ります。

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{\frac{(x^{2} - 4) \cdot 3 - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 2.23

${(x^{2} - 4)}^{1} \cdot 3$ を簡約します。

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{\frac{(x^{2} - 4) \cdot 3 - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 2.24

$3$ を $x^{2} - 4$ の左に移動させます。

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{\frac{3 \cdot (x^{2} - 4) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 2.25

$\frac{\frac{3 (x^{2} - 4) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$ を積として書き換えます。

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot (\frac{3 (x^{2} - 4) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{1}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}})$

ステップ 2.26

$\frac{3 (x^{2} - 4) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$ に $\frac{1}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{3 (x^{2} - 4) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}} {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 2.27

指数を足して ${(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}$ に ${(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.27.1

${(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}$ を移動させます。

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{3 (x^{2} - 4) - 2 x^{2}}{3 ({(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}} {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}})}$

ステップ 2.27.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{3 (x^{2} - 4) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3} + \frac{2}{3}}}$

ステップ 2.27.3

公分母の分子をまとめます。

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{3 (x^{2} - 4) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2 + 2}{3}}}$

ステップ 2.27.4

$2$ と $2$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{3 (x^{2} - 4) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{4}{3}}}$

ステップ 2.28

$\frac{4}{3}$ に $\frac{3 (x^{2} - 4) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{4}{3}}}$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{4 (3 (x^{2} - 4) - 2 x^{2})}{3 (3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{4}{3}})}$

ステップ 2.29

$3$ に $3$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{4 (3 (x^{2} - 4) - 2 x^{2})}{9 {(x^{2} - 4)}^{\frac{4}{3}}}$

ステップ 2.30

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.30.1

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{4 (3 x^{2} + 3 \cdot - 4 - 2 x^{2})}{9 {(x^{2} - 4)}^{\frac{4}{3}}}$

ステップ 2.30.2

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{4 (3 x^{2}) + 4 (3 \cdot - 4) + 4 (- 2 x^{2})}{9 {(x^{2} - 4)}^{\frac{4}{3}}}$

ステップ 2.30.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.30.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.30.3.1.1

$3$ に $4$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{12 x^{2} + 4 (3 \cdot - 4) + 4 (- 2 x^{2})}{9 {(x^{2} - 4)}^{\frac{4}{3}}}$

ステップ 2.30.3.1.2

$4 (3 \cdot - 4)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.30.3.1.2.1

$3$ に $- 4$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{12 x^{2} + 4 \cdot - 12 + 4 (- 2 x^{2})}{9 {(x^{2} - 4)}^{\frac{4}{3}}}$

ステップ 2.30.3.1.2.2

$4$ に $- 12$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{12 x^{2} - 48 + 4 (- 2 x^{2})}{9 {(x^{2} - 4)}^{\frac{4}{3}}}$

ステップ 2.30.3.1.3

$- 2$ に $4$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{12 x^{2} - 48 - 8 x^{2}}{9 {(x^{2} - 4)}^{\frac{4}{3}}}$

ステップ 2.30.3.2

$12 x^{2}$ から $8 x^{2}$ を引きます。

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} - 48}{9 {(x^{2} - 4)}^{\frac{4}{3}}}$

ステップ 2.30.4

$4$ を $4 x^{2} - 48$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.30.4.1

$4$ を $4 x^{2}$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{4 (x^{2}) - 48}{9 {(x^{2} - 4)}^{\frac{4}{3}}}$

ステップ 2.30.4.2

$4$ を $- 48$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} + 4 \cdot - 12}{9 {(x^{2} - 4)}^{\frac{4}{3}}}$

ステップ 2.30.4.3

$4$ を $4 x^{2} + 4 \cdot - 12$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{4 (x^{2} - 12)}{9 {(x^{2} - 4)}^{\frac{4}{3}}}$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$\frac{4 x}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}} = 0$

ステップ 4

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

$f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ および $g (x) = x^{2} - 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2} - 4$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{2}{3}}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]$

ステップ 4.1.1.2

$n = \frac{2}{3}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]$

ステップ 4.1.1.3

$u$ のすべての発生を $x^{2} - 4$ で置き換えます。

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]$

ステップ 4.1.2

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]$

ステップ 4.1.3

$- 1$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]$

ステップ 4.1.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 4)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]$

ステップ 4.1.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.5.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 4)}^{\frac{2 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]$

ステップ 4.1.5.2

$2$ から $3$ を引きます。

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 4)}^{\frac{- 1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]$

ステップ 4.1.6

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.6.1

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 4)}^{- \frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]$

ステップ 4.1.6.2

$\frac{2}{3}$ と ${(x^{2} - 4)}^{- \frac{1}{3}}$ をまとめます。

$\frac{2 {(x^{2} - 4)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]$

ステップ 4.1.6.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(x^{2} - 4)}^{- \frac{1}{3}}$ を分母に移動させます。

$\frac{2}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]$

ステップ 4.1.7

総和則では、 $x^{2} - 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ です。

$\frac{2}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4])$

ステップ 4.1.8

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{2}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}} (2 x + \frac{d}{d x} [- 4])$

ステップ 4.1.9

$- 4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 4$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{2}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}} (2 x + 0)$

ステップ 4.1.10

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.10.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{2}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}} (2 x)$

ステップ 4.1.10.2

$2$ と $\frac{2}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}}$ をまとめます。

$\frac{2 \cdot 2}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}} x$

ステップ 4.1.10.3

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{4}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}} x$

ステップ 4.1.10.4

$\frac{4}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}}$ と $x$ をまとめます。

$f' (x) = \frac{4 x}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 4.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $\frac{4 x}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}}$ です。

$\frac{4 x}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 5

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\frac{4 x}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$\frac{4 x}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}} = 0$

ステップ 5.2

分子を0に等しくします。

$4 x = 0$

ステップ 5.3

$4 x = 0$ の各項を $4$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

$4 x = 0$ の各項を $4$ で割ります。

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

ステップ 5.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.1

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

ステップ 5.3.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{0}{4}$

ステップ 5.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.1

$0$ を $4$ で割ります。

$x = 0$

ステップ 6

微分係数が未定義になる値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

分数指数をもつ式を根に変換します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1

法則 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ を当てはめ、累乗法を根で書き換えます。

$\frac{4 x}{3 \sqrt[3]{{(x^{2} - 4)}^{1}}}$

ステップ 6.1.2

$1$ に乗じたものは底そのものです。

$\frac{4 x}{3 \sqrt[3]{x^{2} - 4}}$

ステップ 6.2

$\frac{4 x}{3 \sqrt[3]{x^{2} - 4}}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$3 \sqrt[3]{x^{2} - 4} = 0$

ステップ 6.3

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1

方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を3乗します。

${(3 \sqrt[3]{x^{2} - 4})}^{3} = 0^{3}$

ステップ 6.3.2

方程式の各辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{x^{2} - 4}$ を ${(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}$ に書き換えます。

${(3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

ステップ 6.3.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.2.1

${(3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.2.1.1

積の法則を $3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}$ に当てはめます。

$3^{3} {({(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

ステップ 6.3.2.2.1.2

$3$ を $3$ 乗します。

$27 {({(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

ステップ 6.3.2.2.1.3

${({(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.2.1.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$27 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

ステップ 6.3.2.2.1.3.2

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.2.1.3.2.1

共通因数を約分します。

$27 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

ステップ 6.3.2.2.1.3.2.2

式を書き換えます。

$27 {(x^{2} - 4)}^{1} = 0^{3}$

ステップ 6.3.2.2.1.4

簡約します。

$27 (x^{2} - 4) = 0^{3}$

ステップ 6.3.2.2.1.5

分配則を当てはめます。

$27 x^{2} + 27 \cdot - 4 = 0^{3}$

ステップ 6.3.2.2.1.6

$27$ に $- 4$ をかけます。

$27 x^{2} - 108 = 0^{3}$

ステップ 6.3.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.3.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$27 x^{2} - 108 = 0$

ステップ 6.3.3

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.3.1

方程式の両辺に $108$ を足します。

$27 x^{2} = 108$

ステップ 6.3.3.2

$27 x^{2} = 108$ の各項を $27$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.3.2.1

$27 x^{2} = 108$ の各項を $27$ で割ります。

$\frac{27 x^{2}}{27} = \frac{108}{27}$

ステップ 6.3.3.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.3.2.2.1

$27$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.3.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{27 x^{2}}{27} = \frac{108}{27}$

ステップ 6.3.3.2.2.1.2

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$x^{2} = \frac{108}{27}$

ステップ 6.3.3.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.3.2.3.1

$108$ を $27$ で割ります。

$x^{2} = 4$

ステップ 6.3.3.3

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{4}$

ステップ 6.3.3.4

$\pm \sqrt{4}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.3.4.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

ステップ 6.3.3.4.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm 2$

ステップ 6.3.3.5

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.3.5.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = 2$

ステップ 6.3.3.5.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - 2$

ステップ 6.3.3.5.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = 2, - 2$

ステップ 6.4

分母が $0$ に等しい、平方根の引数が $0$ より小さい、または対数の引数が $0$ 以下の場合、方程式は未定義です。

$x = - 2, x = 2$

ステップ 7

値を求める臨界点です。

$x = 0, - 2, 2$

ステップ 8

$x = 0$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$\frac{4 ({(0)}^{2} - 12)}{9 {({(0)}^{2} - 4)}^{\frac{4}{3}}}$

ステップ 9

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\frac{4 (0 - 12)}{9 {(0^{2} - 4)}^{\frac{4}{3}}}$

ステップ 9.1.2

$0$ から $12$ を引きます。

$\frac{4 \cdot - 12}{9 {(0^{2} - 4)}^{\frac{4}{3}}}$

ステップ 9.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\frac{4 \cdot - 12}{9 {(0 - 4)}^{\frac{4}{3}}}$

ステップ 9.2.2

$0$ から $4$ を引きます。

$\frac{4 \cdot - 12}{9 {(- 4)}^{\frac{4}{3}}}$

ステップ 9.3

くくりだして簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.3.1

$4$ に $- 12$ をかけます。

$\frac{- 48}{9 {(- 4)}^{\frac{4}{3}}}$

ステップ 9.3.2

$3$ を $- 48$ で因数分解します。

$\frac{3 (- 16)}{9 {(- 4)}^{\frac{4}{3}}}$

ステップ 9.4

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.4.1

$3$ を $9 {(- 4)}^{\frac{4}{3}}$ で因数分解します。

$\frac{3 (- 16)}{3 (3 {(- 4)}^{\frac{4}{3}})}$

ステップ 9.4.2

共通因数を約分します。

$\frac{3 \cdot - 16}{3 (3 {(- 4)}^{\frac{4}{3}})}$

ステップ 9.4.3

式を書き換えます。

$\frac{- 16}{3 {(- 4)}^{\frac{4}{3}}}$

ステップ 9.5

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{16}{3 {(- 4)}^{\frac{4}{3}}}$

ステップ 10

$x = 0$ は二次導関数の値が負であるため、極大値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = 0$ は極大値です

ステップ 11

$x = 0$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f (0) = {({(0)}^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}$

ステップ 11.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f (0) = {(0 - 4)}^{\frac{2}{3}}$

ステップ 11.2.2

$0$ から $4$ を引きます。

$f (0) = {(- 4)}^{\frac{2}{3}}$

ステップ 11.2.3

最終的な答えは ${(- 4)}^{\frac{2}{3}}$ です。

$y = {(- 4)}^{\frac{2}{3}}$

ステップ 12

$x = - 2$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$\frac{4 ({(- 2)}^{2} - 12)}{9 {({(- 2)}^{2} - 4)}^{\frac{4}{3}}}$

ステップ 13

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1.1

$- 2$ を $2$ 乗します。

$\frac{4 ({(- 2)}^{2} - 12)}{9 {(4 - 4)}^{\frac{4}{3}}}$

ステップ 13.1.2

$4$ から $4$ を引きます。

$\frac{4 ({(- 2)}^{2} - 12)}{9 \cdot 0^{\frac{4}{3}}}$

ステップ 13.1.3

$0$ を $0^{3}$ に書き換えます。

$\frac{4 ({(- 2)}^{2} - 12)}{9 \cdot {(0^{3})}^{\frac{4}{3}}}$

ステップ 13.1.4

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{4 ({(- 2)}^{2} - 12)}{9 \cdot 0^{3 (\frac{4}{3})}}$

ステップ 13.2

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{4 ({(- 2)}^{2} - 12)}{9 \cdot 0^{3 (\frac{4}{3})}}$

ステップ 13.2.2

式を書き換えます。

$\frac{4 ({(- 2)}^{2} - 12)}{9 \cdot 0^{4}}$

ステップ 13.3

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.3.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\frac{4 ({(- 2)}^{2} - 12)}{9 \cdot 0}$

ステップ 13.3.2

$9$ に $0$ をかけます。

$\frac{4 ({(- 2)}^{2} - 12)}{0}$

ステップ 13.3.3

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{4 ({(- 2)}^{2} - 12)}{0}$

ステップ 13.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

ステップ 14

$0$ をもつ点が1点以上または未定義の二次導関数があるので、一次導関数検定を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.1

一次導関数 $0$ または未定義になる $x$ 値の周囲で、 $(- \infty, \infty)$ を分離区間に分割します。

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 0) \cup (0, 2) \cup (2, \infty)$

ステップ 14.2

一次導関数 $\frac{4 x}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}}$ の区間 $(- \infty, - 2)$ から $- 4$ などの任意の数を代入し、結果が負か正か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.2.1

式の変数 $x$ を $- 4$ で置換えます。

$f' (- 4) = \frac{4 (- 4)}{3 {({(- 4)}^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 14.2.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.2.2.1

$4$ に $- 4$ をかけます。

$f' (- 4) = \frac{- 16}{3 {({(- 4)}^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 14.2.2.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.2.2.2.1

$- 4$ を $2$ 乗します。

$f' (- 4) = \frac{- 16}{3 {(16 - 4)}^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 14.2.2.2.2

$16$ から $4$ を引きます。

$f' (- 4) = \frac{- 16}{3 \cdot 12^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 14.2.2.3

分数の前に負数を移動させます。

$f' (- 4) = - \frac{16}{3 \cdot 12^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 14.2.2.4

最終的な答えは $- \frac{16}{3 \cdot 12^{\frac{1}{3}}}$ です。

$- \frac{16}{3 \cdot 12^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 14.3

一次導関数 $\frac{4 x}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}}$ の区間 $(- 2, 0)$ から $- 1$ などの任意の数を代入し、結果が負か正か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.3.1

式の変数 $x$ を $- 1$ で置換えます。

$f' (- 1) = \frac{4 (- 1)}{3 {({(- 1)}^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 14.3.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.3.2.1

$4$ に $- 1$ をかけます。

$f' (- 1) = \frac{- 4}{3 {({(- 1)}^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 14.3.2.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.3.2.2.1

$- 1$ を $2$ 乗します。

$f' (- 1) = \frac{- 4}{3 {(1 - 4)}^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 14.3.2.2.2

$1$ から $4$ を引きます。

$f' (- 1) = \frac{- 4}{3 {(- 3)}^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 14.3.2.3

分数の前に負数を移動させます。

$f' (- 1) = - \frac{4}{3 {(- 3)}^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 14.3.2.4

最終的な答えは $- \frac{4}{3 {(- 3)}^{\frac{1}{3}}}$ です。

$- \frac{4}{3 {(- 3)}^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 14.4

一次導関数 $\frac{4 x}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}}$ の区間 $(0, 2)$ から $1$ などの任意の数を代入し、結果が負か正か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.4.1

式の変数 $x$ を $1$ で置換えます。

$f' (1) = \frac{4 (1)}{3 {({(1)}^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 14.4.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.4.2.1

$4$ に $1$ をかけます。

$f' (1) = \frac{4}{3 {(1^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 14.4.2.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.4.2.2.1

1のすべての数の累乗は1です。

$f' (1) = \frac{4}{3 {(1 - 4)}^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 14.4.2.2.2

$1$ から $4$ を引きます。

$f' (1) = \frac{4}{3 {(- 3)}^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 14.4.2.3

最終的な答えは $\frac{4}{3 {(- 3)}^{\frac{1}{3}}}$ です。

$\frac{4}{3 {(- 3)}^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 14.5

一次導関数 $\frac{4 x}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}}$ の区間 $(2, \infty)$ から $4$ などの任意の数を代入し、結果が負か正か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.5.1

式の変数 $x$ を $4$ で置換えます。

$f' (4) = \frac{4 (4)}{3 {({(4)}^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 14.5.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.5.2.1

$4$ に $4$ をかけます。

$f' (4) = \frac{16}{3 {(4^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 14.5.2.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.5.2.2.1

$4$ を $2$ 乗します。

$f' (4) = \frac{16}{3 {(16 - 4)}^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 14.5.2.2.2

$16$ から $4$ を引きます。

$f' (4) = \frac{16}{3 \cdot 12^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 14.5.2.3

最終的な答えは $\frac{16}{3 \cdot 12^{\frac{1}{3}}}$ です。

$\frac{16}{3 \cdot 12^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 14.6

$x = - 2$ の周囲で一次導関数の符号が負から正に変化したので、 $x = - 2$ は極小値です。

$x = - 2$ は極小値です

ステップ 14.7

$x = 0$ の周囲で一次導関数の符号が正から負に変化したので、 $x = 0$ は極大値です。

$x = 0$ は極大値です

ステップ 14.8

$x = 2$ の周囲で一次導関数の符号が負から正に変化したので、 $x = 2$ は極小値です。

$x = 2$ は極小値です

ステップ 14.9

$f (x) = {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}$ の極値です。

$x = - 2$ は極小値です

$x = 0$ は極大値です

$x = 2$ は極小値です

$x = - 2$ は極小値です

$x = 0$ は極大値です

$x = 2$ は極小値です

ステップ 15

微分積分 例

微分積分例