微分積分例

$y = 3 x (x^{3} - 1)$

ステップ 1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x (x^{3} - 1)$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x (x^{3} - 1)]$ です。

$3 \frac{d}{d x} [x (x^{3} - 1)]$

ステップ 2

$f (x) = x$ および $g (x) = x^{3} - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$3 (x \frac{d}{d x} [x^{3} - 1] + (x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

総和則では、 $x^{3} - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$3 (x (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 (x (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.3

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$3 (x (3 x^{2} + 0) + (x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.4

$3 x^{2}$ と $0$ をたし算します。

$3 (x (3 x^{2}) + (x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4

$x$ を $1$ 乗します。

$3 (3 (x^{1} x^{2}) + (x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$3 (3 x^{1 + 2} + (x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 6

$1$ と $2$ をたし算します。

$3 (3 x^{3} + (x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 7

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 (3 x^{3} + (x^{3} - 1) \cdot 1)$

ステップ 8

項を加えて簡約します。

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ステップ 8.1

$x^{3} - 1$ に $1$ をかけます。

$3 (3 x^{3} + x^{3} - 1)$

ステップ 8.2

$3 x^{3}$ と $x^{3}$ をたし算します。

$3 (4 x^{3} - 1)$

ステップ 9

簡約します。

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ステップ 9.1

分配則を当てはめます。

$3 (4 x^{3}) + 3 \cdot - 1$

ステップ 9.2

項をまとめます。

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ステップ 9.2.1

$4$ に $3$ をかけます。

$12 x^{3} + 3 \cdot - 1$

ステップ 9.2.2

$3$ に $- 1$ をかけます。

$12 x^{3} - 3$

微分積分 例

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