微分積分例

$- (x + 1) {(x - 1)}^{2}$

ステップ 1

${(x - 1)}^{2}$ を $(x - 1) (x - 1)$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [- (x + 1) ((x - 1) (x - 1))]$

ステップ 2

分配法則（FOIL法）を使って $(x - 1) (x - 1)$ を展開します。

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ステップ 2.1

分配則を当てはめます。

$\frac{d}{d x} [- (x + 1) (x (x - 1) - 1 (x - 1))]$

ステップ 2.2

分配則を当てはめます。

$\frac{d}{d x} [- (x + 1) (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1))]$

ステップ 2.3

分配則を当てはめます。

$\frac{d}{d x} [- (x + 1) (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1)]$

ステップ 3

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 3.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{d}{d x} [- (x + 1) (x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1)]$

ステップ 3.1.2

$- 1$ を $x$ の左に移動させます。

$\frac{d}{d x} [- (x + 1) (x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1)]$

ステップ 3.1.3

$- 1 x$ を $- x$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [- (x + 1) (x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1)]$

ステップ 3.1.4

$- 1 x$ を $- x$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [- (x + 1) (x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1)]$

ステップ 3.1.5

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{d}{d x} [- (x + 1) (x^{2} - x - x + 1)]$

ステップ 3.2

$- x$ から $x$ を引きます。

$\frac{d}{d x} [- (x + 1) (x^{2} - 2 x + 1)]$

ステップ 4

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- (x + 1) (x^{2} - 2 x + 1)$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [(x + 1) (x^{2} - 2 x + 1)]$ です。

$- \frac{d}{d x} [(x + 1) (x^{2} - 2 x + 1)]$

ステップ 5

$f (x) = x + 1$ および $g (x) = x^{2} - 2 x + 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$- ((x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1] + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$

ステップ 6

微分します。

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ステップ 6.1

総和則では、 $x^{2} - 2 x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$- ((x + 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]) + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$

ステップ 6.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- ((x + 1) (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]) + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$

ステップ 6.3

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 x$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- ((x + 1) (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$

ステップ 6.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- ((x + 1) (2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$

ステップ 6.5

$- 2$ に $1$ をかけます。

$- ((x + 1) (2 x - 2 + \frac{d}{d x} [1]) + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$

ステップ 6.6

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$- ((x + 1) (2 x - 2 + 0) + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$

ステップ 6.7

$2 x - 2$ と $0$ をたし算します。

$- ((x + 1) (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$

ステップ 6.8

総和則では、 $x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$- ((x + 1) (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]))$

ステップ 6.9

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- ((x + 1) (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [1]))$

ステップ 6.10

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$- ((x + 1) (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x + 1) (1 + 0))$

ステップ 6.11

式を簡約します。

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ステップ 6.11.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$- ((x + 1) (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x + 1) \cdot 1)$

ステップ 6.11.2

$x^{2} - 2 x + 1$ に $1$ をかけます。

$- ((x + 1) (2 x - 2) + x^{2} - 2 x + 1)$

ステップ 7

簡約します。

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ステップ 7.1

分配則を当てはめます。

$- ((x + 1) (2 x - 2)) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

ステップ 7.2

分配則を当てはめます。

$- ((x + 1) (2 x) + (x + 1) \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

ステップ 7.3

分配則を当てはめます。

$- (x (2 x) + 1 (2 x) + (x + 1) \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

ステップ 7.4

分配則を当てはめます。

$- (x (2 x) + 1 (2 x) + x \cdot - 2 + 1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

ステップ 7.5

分配則を当てはめます。

$- (x (2 x)) - (1 (2 x)) - (x \cdot - 2) - (1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

ステップ 7.6

項をまとめます。

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ステップ 7.6.1

$x$ を $1$ 乗します。

$- (2 (x^{1} x)) - (1 (2 x)) - (x \cdot - 2) - (1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

ステップ 7.6.2

$x$ を $1$ 乗します。

$- (2 (x^{1} x^{1})) - (1 (2 x)) - (x \cdot - 2) - (1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

ステップ 7.6.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- (2 x^{1 + 1}) - (1 (2 x)) - (x \cdot - 2) - (1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

ステップ 7.6.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$- (2 x^{2}) - (1 (2 x)) - (x \cdot - 2) - (1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

ステップ 7.6.5

$2$ に $- 1$ をかけます。

$- 2 x^{2} - (1 (2 x)) - (x \cdot - 2) - (1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

ステップ 7.6.6

$2$ に $1$ をかけます。

$- 2 x^{2} - (2 x) - (x \cdot - 2) - (1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

ステップ 7.6.7

$2$ に $- 1$ をかけます。

$- 2 x^{2} - 2 x - (x \cdot - 2) - (1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

ステップ 7.6.8

$- 2$ を $x$ の左に移動させます。

$- 2 x^{2} - 2 x - (- 2 \cdot x) - (1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

ステップ 7.6.9

$- 2$ に $- 1$ をかけます。

$- 2 x^{2} - 2 x + 2 x - (1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

ステップ 7.6.10

$- 2$ に $1$ をかけます。

$- 2 x^{2} - 2 x + 2 x - - 2 - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

ステップ 7.6.11

$- 1$ に $- 2$ をかけます。

$- 2 x^{2} - 2 x + 2 x + 2 - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

ステップ 7.6.12

$- 2 x$ と $2 x$ をたし算します。

$- 2 x^{2} + 0 + 2 - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

ステップ 7.6.13

$- 2 x^{2}$ と $0$ をたし算します。

$- 2 x^{2} + 2 - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

ステップ 7.6.14

$- 2 x^{2}$ から $x^{2}$ を引きます。

$- 3 x^{2} + 2 - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

ステップ 7.6.15

$- 2$ に $- 1$ をかけます。

$- 3 x^{2} + 2 + 2 x - 1 \cdot 1$

ステップ 7.6.16

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- 3 x^{2} + 2 + 2 x - 1$

ステップ 7.6.17

$2$ から $1$ を引きます。

$- 3 x^{2} + 2 x + 1$

微分積分 例

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