微分積分例

$\frac{1}{\sqrt{1 - x} \sqrt{1 + x}}$

ステップ 1

$\frac{1}{\sqrt{1 - x} \sqrt{1 + x}}$ を関数で書きます。

$f (x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x} \sqrt{1 + x}}$

ステップ 2

関数 $F (x)$ は、微分係数 $f (x)$ の不定積分を求めることで求められます。

$F (x) = \int f (x) d x$

ステップ 3

積分を設定し解きます。

$F (x) = \int \frac{1}{\sqrt{1 - x} \sqrt{1 + x}} d x$

ステップ 4

根の積の法則を使ってまとめます。

$\int \frac{1}{\sqrt{(1 - x) (1 + x)}} d x$

ステップ 5

平方を完成させます。

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ステップ 5.1

式を簡約します。

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ステップ 5.1.1

分配法則（FOIL法）を使って $(1 - x) (1 + x)$ を展開します。

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ステップ 5.1.1.1

分配則を当てはめます。

$1 (1 + x) - x (1 + x)$

ステップ 5.1.1.2

分配則を当てはめます。

$1 \cdot 1 + 1 x - x (1 + x)$

ステップ 5.1.1.3

分配則を当てはめます。

$1 \cdot 1 + 1 x - x \cdot 1 - x \cdot x$

ステップ 5.1.2

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 5.1.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.1.2.1.1

$1$ に $1$ をかけます。

$1 + 1 x - x \cdot 1 - x \cdot x$

ステップ 5.1.2.1.2

$x$ に $1$ をかけます。

$1 + x - x \cdot 1 - x \cdot x$

ステップ 5.1.2.1.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$1 + x - x - x \cdot x$

ステップ 5.1.2.1.4

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 5.1.2.1.4.1

$x$ を移動させます。

$1 + x - x - (x \cdot x)$

ステップ 5.1.2.1.4.2

$x$ に $x$ をかけます。

$1 + x - x - x^{2}$

ステップ 5.1.2.2

$x$ から $x$ を引きます。

$1 + 0 - x^{2}$

ステップ 5.1.2.3

$1$ と $0$ をたし算します。

$1 - x^{2}$

ステップ 5.1.3

$1$ と $- x^{2}$ を並べ替えます。

$- x^{2} + 1$

ステップ 5.2

式 $a x^{2} + b x + c$ を利用して、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ の値を求めます。

$a = - 1$

$b = 0$

$c = 1$

ステップ 5.3

放物線の標準形を考えます。

$a {(x + d)}^{2} + e$

ステップ 5.4

公式 $d = \frac{b}{2 a}$ を利用して $d$ の値を求めます。

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ステップ 5.4.1

$a$ と $b$ の値を公式 $d = \frac{b}{2 a}$ に代入します。

$d = \frac{0}{2 \cdot - 1}$

ステップ 5.4.2

右辺を簡約します。

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ステップ 5.4.2.1

$0$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.4.2.1.1

$2$ を $0$ で因数分解します。

$d = \frac{2 (0)}{2 \cdot - 1}$

ステップ 5.4.2.1.2

$\frac{0}{- 1}$ の分母からマイナス1を移動させます。

$d = - 1 \cdot 0$

ステップ 5.4.2.2

$- 1 \cdot 0$ を $- 0$ に書き換えます。

$d = - 0$

ステップ 5.4.2.3

$- 1$ に $0$ をかけます。

$d = 0$

ステップ 5.5

公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ を利用して $e$ の値を求めます。

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ステップ 5.5.1

$c$ 、 $b$ 、および $a$ の値を公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ に代入します。

$e = 1 - \frac{0^{2}}{4 \cdot - 1}$

ステップ 5.5.2

右辺を簡約します。

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ステップ 5.5.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.5.2.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$e = 1 - \frac{0}{4 \cdot - 1}$

ステップ 5.5.2.1.2

$4$ に $- 1$ をかけます。

$e = 1 - \frac{0}{- 4}$

ステップ 5.5.2.1.3

$0$ を $- 4$ で割ります。

$e = 1 - 0$

ステップ 5.5.2.1.4

$- 1$ に $0$ をかけます。

$e = 1 + 0$

ステップ 5.5.2.2

$1$ と $0$ をたし算します。

$e = 1$

ステップ 5.6

$a$ 、 $d$ 、および $e$ の値を頂点形 $- {(x + 0)}^{2} + 1$ に代入します。

$\int \frac{1}{\sqrt{- {(x + 0)}^{2} + 1}} d x$

ステップ 6

$u = x + 0$ とします。次に $d u = d x$ 。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 6.1

$u = x + 0$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 6.1.1

$x + 0$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x + 0]$

ステップ 6.1.2

総和則では、 $x + 0$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [0]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [0]$

ステップ 6.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [0]$

ステップ 6.1.4

$0$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $0$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 6.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 6.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int \frac{1}{\sqrt{- u^{2} + 1}} d u$

ステップ 7

式を簡約します。

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ステップ 7.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\int \frac{1}{\sqrt{- u^{2} + 1^{2}}} d u$

ステップ 7.2

$- u^{2}$ と $1^{2}$ を並べ替えます。

$\int \frac{1}{\sqrt{1^{2} - u^{2}}} d u$

ステップ 8

$\frac{1}{\sqrt{1^{2} - u^{2}}}$ の $u$ に関する積分は $\arcsin (u)$ である

$\arcsin (u) + C$

ステップ 9

$u$ のすべての発生を $x + 0$ で置き換えます。

$\arcsin (x + 0) + C$

ステップ 10

$x$ と $0$ をたし算します。

$\arcsin (x) + C$

ステップ 11

答えは関数 $f (x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x} \sqrt{1 + x}}$ の不定積分です。

$F (x) =$ $\arcsin (x) + C$

微分積分 例

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