微分積分例

$\int x^{7} \cos (x^{4}) d x$

ステップ 1

$u_{1} = x^{2}$ とします。次に $d u_{1} = 2 x d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u_{1} = x d x$ です。 $u_{1}$ と $d$ $u_{1}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u_{1} = x^{2}$ とします。 $\frac{d u_{1}}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$x^{2}$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.1.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x$

ステップ 1.2

$u_{1}$ と $d u_{1}$ を利用して問題を書き換えます。

$\int {\sqrt{u_{1}}}^{6} \cos ({\sqrt{u_{1}}}^{4}) \frac{1}{2} d u_{1}$

ステップ 2

簡約します。

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ステップ 2.1

${\sqrt{u_{1}}}^{6}$ を ${u_{1}}^{3}$ に書き換えます。

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ステップ 2.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{u_{1}}$ を ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\int {({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{6} \cos ({\sqrt{u_{1}}}^{4}) \frac{1}{2} d u_{1}$

ステップ 2.1.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\int {u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 6} \cos ({\sqrt{u_{1}}}^{4}) \frac{1}{2} d u_{1}$

ステップ 2.1.3

$\frac{1}{2}$ と $6$ をまとめます。

$\int {u_{1}}^{\frac{6}{2}} \cos ({\sqrt{u_{1}}}^{4}) \frac{1}{2} d u_{1}$

ステップ 2.1.4

$6$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.1.4.1

$2$ を $6$ で因数分解します。

$\int {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 3}{2}} \cos ({\sqrt{u_{1}}}^{4}) \frac{1}{2} d u_{1}$

ステップ 2.1.4.2

共通因数を約分します。

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ステップ 2.1.4.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\int {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 3}{2 (1)}} \cos ({\sqrt{u_{1}}}^{4}) \frac{1}{2} d u_{1}$

ステップ 2.1.4.2.2

共通因数を約分します。

$\int {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}} \cos ({\sqrt{u_{1}}}^{4}) \frac{1}{2} d u_{1}$

ステップ 2.1.4.2.3

式を書き換えます。

$\int {u_{1}}^{\frac{3}{1}} \cos ({\sqrt{u_{1}}}^{4}) \frac{1}{2} d u_{1}$

ステップ 2.1.4.2.4

$3$ を $1$ で割ります。

$\int {u_{1}}^{3} \cos ({\sqrt{u_{1}}}^{4}) \frac{1}{2} d u_{1}$

ステップ 2.2

${\sqrt{u_{1}}}^{4}$ を ${u_{1}}^{2}$ に書き換えます。

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ステップ 2.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{u_{1}}$ を ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\int {u_{1}}^{3} \cos ({({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{4}) \frac{1}{2} d u_{1}$

ステップ 2.2.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\int {u_{1}}^{3} \cos ({u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 4}) \frac{1}{2} d u_{1}$

ステップ 2.2.3

$\frac{1}{2}$ と $4$ をまとめます。

$\int {u_{1}}^{3} \cos ({u_{1}}^{\frac{4}{2}}) \frac{1}{2} d u_{1}$

ステップ 2.2.4

$4$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.4.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$\int {u_{1}}^{3} \cos ({u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2}}) \frac{1}{2} d u_{1}$

ステップ 2.2.4.2

共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.4.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\int {u_{1}}^{3} \cos ({u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}) \frac{1}{2} d u_{1}$

ステップ 2.2.4.2.2

共通因数を約分します。

$\int {u_{1}}^{3} \cos ({u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}) \frac{1}{2} d u_{1}$

ステップ 2.2.4.2.3

式を書き換えます。

$\int {u_{1}}^{3} \cos ({u_{1}}^{\frac{2}{1}}) \frac{1}{2} d u_{1}$

ステップ 2.2.4.2.4

$2$ を $1$ で割ります。

$\int {u_{1}}^{3} \cos ({u_{1}}^{2}) \frac{1}{2} d u_{1}$

ステップ 2.3

$\frac{1}{2}$ と ${u_{1}}^{3}$ をまとめます。

$\int \frac{{u_{1}}^{3}}{2} \cos ({u_{1}}^{2}) d u_{1}$

ステップ 2.4

$\frac{{u_{1}}^{3}}{2}$ と $\cos ({u_{1}}^{2})$ をまとめます。

$\int \frac{{u_{1}}^{3} \cos ({u_{1}}^{2})}{2} d u_{1}$

ステップ 3

$\frac{1}{2}$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} \int {u_{1}}^{3} \cos ({u_{1}}^{2}) d u_{1}$

ステップ 4

$u_{2} = {u_{1}}^{2}$ とします。次に $d u_{2} = 2 u_{1} d u_{1}$ すると、 $\frac{1}{2} d u_{2} = u_{1} d u_{1}$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 4.1

$u_{2} = {u_{1}}^{2}$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ を求めます。

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ステップ 4.1.1

${u_{1}}^{2}$ を微分します。

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}]$

ステップ 4.1.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 u_{1}$

ステップ 4.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$\frac{1}{2} \int u_{2} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2}$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

$\frac{1}{2}$ と $u_{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} \int \frac{u_{2}}{2} \cos (u_{2}) d u_{2}$

ステップ 5.2

$\frac{u_{2}}{2}$ と $\cos (u_{2})$ をまとめます。

$\frac{1}{2} \int \frac{u_{2} \cos (u_{2})}{2} d u_{2}$

ステップ 6

$\frac{1}{2}$ は $u_{2}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int u_{2} \cos (u_{2}) d u_{2})$

ステップ 7

簡約します。

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ステップ 7.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$\frac{1}{2 \cdot 2} \int u_{2} \cos (u_{2}) d u_{2}$

ステップ 7.2

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{4} \int u_{2} \cos (u_{2}) d u_{2}$

ステップ 8

$w = u_{2}$ と $dv = \cos (u_{2})$ ならば、公式 $\int w d v = w v - \int v d w$ を利用して部分積分します。

$\frac{1}{4} (u_{2} \sin (u_{2}) - \int \sin (u_{2}) d u_{2})$

ステップ 9

$\sin (u_{2})$ の $u_{2}$ に関する積分は $- \cos (u_{2})$ です。

$\frac{1}{4} (u_{2} \sin (u_{2}) - (- \cos (u_{2}) + C))$

ステップ 10

$\frac{1}{4} (u_{2} \sin (u_{2}) - (- \cos (u_{2}) + C))$ を $\frac{1}{4} (u_{2} \sin (u_{2}) + \cos (u_{2})) + C$ に書き換えます。

$\frac{1}{4} (u_{2} \sin (u_{2}) + \cos (u_{2})) + C$

ステップ 11

各積分に置換変数を戻し入れます。

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ステップ 11.1

$u_{2}$ のすべての発生を ${u_{1}}^{2}$ で置き換えます。

$\frac{1}{4} ({u_{1}}^{2} \sin ({u_{1}}^{2}) + \cos ({u_{1}}^{2})) + C$

ステップ 11.2

$u_{1}$ のすべての発生を $x^{2}$ で置き換えます。

$\frac{1}{4} ({(x^{2})}^{2} \sin ({(x^{2})}^{2}) + \cos ({(x^{2})}^{2})) + C$

ステップ 12

簡約します。

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ステップ 12.1

各項を簡約します。

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ステップ 12.1.1

${(x^{2})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 12.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{1}{4} (x^{2 \cdot 2} \sin ({(x^{2})}^{2}) + \cos ({(x^{2})}^{2})) + C$

ステップ 12.1.1.2

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{4} (x^{4} \sin ({(x^{2})}^{2}) + \cos ({(x^{2})}^{2})) + C$

ステップ 12.1.2

${(x^{2})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 12.1.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{1}{4} (x^{4} \sin (x^{2 \cdot 2}) + \cos ({(x^{2})}^{2})) + C$

ステップ 12.1.2.2

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{4} (x^{4} \sin (x^{4}) + \cos ({(x^{2})}^{2})) + C$

ステップ 12.1.3

${(x^{2})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 12.1.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{1}{4} (x^{4} \sin (x^{4}) + \cos (x^{2 \cdot 2})) + C$

ステップ 12.1.3.2

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{4} (x^{4} \sin (x^{4}) + \cos (x^{4})) + C$

ステップ 12.2

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{4} (x^{4} \sin (x^{4})) + \frac{1}{4} \cos (x^{4}) + C$

ステップ 12.3

$\frac{1}{4} (x^{4} \sin (x^{4}))$ を掛けます。

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ステップ 12.3.1

$x^{4}$ と $\frac{1}{4}$ をまとめます。

$\frac{x^{4}}{4} \sin (x^{4}) + \frac{1}{4} \cos (x^{4}) + C$

ステップ 12.3.2

$\frac{x^{4}}{4}$ と $\sin (x^{4})$ をまとめます。

$\frac{x^{4} \sin (x^{4})}{4} + \frac{1}{4} \cos (x^{4}) + C$

ステップ 12.4

$\frac{1}{4}$ と $\cos (x^{4})$ をまとめます。

$\frac{x^{4} \sin (x^{4})}{4} + \frac{\cos (x^{4})}{4} + C$

ステップ 13

項を並べ替えます。

$\frac{1}{4} x^{4} \sin (x^{4}) + \frac{1}{4} \cos (x^{4}) + C$

微分積分 例

微分積分例