微分積分例

$\int {(\frac{1}{3} y)}^{\frac{1}{2}} d y$

ステップ 1

$u = \frac{1}{3} y$ とします。次に $d u = \frac{1}{3} d y$ すると、 $3 d u = d y$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u = \frac{1}{3} y$ とします。 $\frac{d u}{d y}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$\frac{1}{3} y$ を微分します。

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{3} y]$

ステップ 1.1.2

$\frac{1}{3}$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $\frac{1}{3} y$ の微分係数は $\frac{1}{3} \frac{d}{d y} [y]$ です。

$\frac{1}{3} \frac{d}{d y} [y]$

ステップ 1.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{3} \cdot 1$

ステップ 1.1.4

$\frac{1}{3}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{3}$

ステップ 1.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int u^{\frac{1}{2}} \frac{1}{\frac{1}{3}} d u$

ステップ 2

簡約します。

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ステップ 2.1

分数の逆数を掛け、 $\frac{1}{3}$ で割ります。

$\int u^{\frac{1}{2}} (1 \cdot 3) d u$

ステップ 2.2

$3$ に $1$ をかけます。

$\int u^{\frac{1}{2}} \cdot 3 d u$

ステップ 2.3

$3$ を $u^{\frac{1}{2}}$ の左に移動させます。

$\int 3 u^{\frac{1}{2}} d u$

ステップ 3

$3$ は $u$ に対して定数なので、 $3$ を積分の外に移動させます。

$3 \int u^{\frac{1}{2}} d u$

ステップ 4

べき乗則では、 $u^{\frac{1}{2}}$ の $u$ に関する積分は $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ です。

$3 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

$3 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$ を $3 (\frac{2}{3}) u^{\frac{3}{2}} + C$ に書き換えます。

$3 (\frac{2}{3}) u^{\frac{3}{2}} + C$

ステップ 5.2

簡約します。

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ステップ 5.2.1

$3$ と $\frac{2}{3}$ をまとめます。

$\frac{3 \cdot 2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

ステップ 5.2.2

$3$ に $2$ をかけます。

$\frac{6}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

ステップ 5.2.3

$6$ と $3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.3.1

$3$ を $6$ で因数分解します。

$\frac{3 \cdot 2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

ステップ 5.2.3.2

共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.3.2.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$\frac{3 \cdot 2}{3 (1)} u^{\frac{3}{2}} + C$

ステップ 5.2.3.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1} u^{\frac{3}{2}} + C$

ステップ 5.2.3.2.3

式を書き換えます。

$\frac{2}{1} u^{\frac{3}{2}} + C$

ステップ 5.2.3.2.4

$2$ を $1$ で割ります。

$2 u^{\frac{3}{2}} + C$

ステップ 6

$u$ のすべての発生を $\frac{1}{3} y$ で置き換えます。

$2 {(\frac{1}{3} y)}^{\frac{3}{2}} + C$

微分積分 例

微分積分例