微分積分例

$\int_{0}^{1} (x^{3} + x) {(x^{4} + 2 x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} d x$

ステップ 1

$u = x^{4} + 2 x^{2} + 9$ とします。次に $d u = (4 x^{3} + 4 x) d x$ すると、 $\frac{1}{4} d u = (x^{3} + x) d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u = x^{4} + 2 x^{2} + 9$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$x^{4} + 2 x^{2} + 9$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x^{4} + 2 x^{2} + 9]$

ステップ 1.1.2

微分します。

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ステップ 1.1.2.1

総和則では、 $x^{4} + 2 x^{2} + 9$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

ステップ 1.1.2.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x^{2}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$4 x^{3} + 2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

ステップ 1.1.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 x^{3} + 2 (2 x) + \frac{d}{d x} [9]$

ステップ 1.1.3.3

$2$ に $2$ をかけます。

$4 x^{3} + 4 x + \frac{d}{d x} [9]$

ステップ 1.1.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 1.1.4.1

$9$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $9$ の微分係数は $0$ です。

$4 x^{3} + 4 x + 0$

ステップ 1.1.4.2

$4 x^{3} + 4 x$ と $0$ をたし算します。

$4 x^{3} + 4 x$

ステップ 1.2

$u = x^{4} + 2 x^{2} + 9$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = 0^{4} + 2 \cdot 0^{2} + 9$

ステップ 1.3

簡約します。

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ステップ 1.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.3.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$u_{lower} = 0 + 2 \cdot 0^{2} + 9$

ステップ 1.3.1.2

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$u_{lower} = 0 + 2 \cdot 0 + 9$

ステップ 1.3.1.3

$2$ に $0$ をかけます。

$u_{lower} = 0 + 0 + 9$

ステップ 1.3.2

$0$ と $0$ をたし算します。

$u_{lower} = 0 + 9$

ステップ 1.3.3

$0$ と $9$ をたし算します。

$u_{lower} = 9$

ステップ 1.4

$u = x^{4} + 2 x^{2} + 9$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = 1^{4} + 2 \cdot 1^{2} + 9$

ステップ 1.5

簡約します。

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ステップ 1.5.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.5.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$u_{upper} = 1 + 2 \cdot 1^{2} + 9$

ステップ 1.5.1.2

1のすべての数の累乗は1です。

$u_{upper} = 1 + 2 \cdot 1 + 9$

ステップ 1.5.1.3

$2$ に $1$ をかけます。

$u_{upper} = 1 + 2 + 9$

ステップ 1.5.2

$1$ と $2$ をたし算します。

$u_{upper} = 3 + 9$

ステップ 1.5.3

$3$ と $9$ をたし算します。

$u_{upper} = 12$

ステップ 1.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 9$

$u_{upper} = 12$

ステップ 1.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$\int_{9}^{12} u^{\frac{1}{2}} \frac{1}{4} d u$

ステップ 2

$u^{\frac{1}{2}}$ と $\frac{1}{4}$ をまとめます。

$\int_{9}^{12} \frac{u^{\frac{1}{2}}}{4} d u$

ステップ 3

$\frac{1}{4}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{4}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{4} \int_{9}^{12} u^{\frac{1}{2}} d u$

ステップ 4

べき乗則では、 $u^{\frac{1}{2}}$ の $u$ に関する積分は $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ です。

$\frac{1}{4} \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{9}^{12}$

ステップ 5

代入し簡約します。

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ステップ 5.1

$12$ および $9$ で $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ の値を求めます。

$\frac{1}{4} ((\frac{2}{3} \cdot 12^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}})$

ステップ 5.2

簡約します。

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ステップ 5.2.1

$\frac{2}{3}$ と $12^{\frac{3}{2}}$ をまとめます。

$\frac{1}{4} (\frac{2 \cdot 12^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}})$

ステップ 5.2.2

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$\frac{1}{4} (\frac{2 \cdot 12^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot {(3^{2})}^{\frac{3}{2}})$

ステップ 5.2.3

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{1}{4} (\frac{2 \cdot 12^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})})$

ステップ 5.2.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{4} (\frac{2 \cdot 12^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})})$

ステップ 5.2.4.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{4} (\frac{2 \cdot 12^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 3^{3})$

ステップ 5.2.5

$3$ を $3$ 乗します。

$\frac{1}{4} (\frac{2 \cdot 12^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 27)$

ステップ 5.2.6

$27$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1}{4} (\frac{2 \cdot 12^{\frac{3}{2}}}{3} - 27 (\frac{2}{3}))$

ステップ 5.2.7

$- 27$ と $\frac{2}{3}$ をまとめます。

$\frac{1}{4} (\frac{2 \cdot 12^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- 27 \cdot 2}{3})$

ステップ 5.2.8

$- 27$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{4} (\frac{2 \cdot 12^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- 54}{3})$

ステップ 5.2.9

$- 54$ と $3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.9.1

$3$ を $- 54$ で因数分解します。

$\frac{1}{4} (\frac{2 \cdot 12^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{3 \cdot - 18}{3})$

ステップ 5.2.9.2

共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.9.2.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$\frac{1}{4} (\frac{2 \cdot 12^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{3 \cdot - 18}{3 (1)})$

ステップ 5.2.9.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{4} (\frac{2 \cdot 12^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{3 \cdot - 18}{3 \cdot 1})$

ステップ 5.2.9.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{4} (\frac{2 \cdot 12^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- 18}{1})$

ステップ 5.2.9.2.4

$- 18$ を $1$ で割ります。

$\frac{1}{4} (\frac{2 \cdot 12^{\frac{3}{2}}}{3} - 18)$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 \cdot 12^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{1}{4} \cdot - 18$

ステップ 6.2

まとめる。

$\frac{1 (2 \cdot 12^{\frac{3}{2}})}{4 \cdot 3} + \frac{1}{4} \cdot - 18$

ステップ 6.3

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.3.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$\frac{1 (2 \cdot 12^{\frac{3}{2}})}{4 \cdot 3} + \frac{1}{2 (2)} \cdot - 18$

ステップ 6.3.2

$2$ を $- 18$ で因数分解します。

$\frac{1 (2 \cdot 12^{\frac{3}{2}})}{4 \cdot 3} + \frac{1}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot - 9)$

ステップ 6.3.3

共通因数を約分します。

$\frac{1 (2 \cdot 12^{\frac{3}{2}})}{4 \cdot 3} + \frac{1}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot - 9)$

ステップ 6.3.4

式を書き換えます。

$\frac{1 (2 \cdot 12^{\frac{3}{2}})}{4 \cdot 3} + \frac{1}{2} \cdot - 9$

ステップ 6.4

$\frac{1}{2}$ と $- 9$ をまとめます。

$\frac{1 (2 \cdot 12^{\frac{3}{2}})}{4 \cdot 3} + \frac{- 9}{2}$

ステップ 6.5

各項を簡約します。

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ステップ 6.5.1

$2$ を $1 (2 \cdot 12^{\frac{3}{2}})$ で因数分解します。

$\frac{2 (1 \cdot (12^{\frac{3}{2}}))}{4 \cdot 3} + \frac{- 9}{2}$

ステップ 6.5.2

共通因数を約分します。

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ステップ 6.5.2.1

$2$ を $4 \cdot 3$ で因数分解します。

$\frac{2 (1 \cdot (12^{\frac{3}{2}}))}{2 (2 \cdot 3)} + \frac{- 9}{2}$

ステップ 6.5.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 (1 \cdot (12^{\frac{3}{2}}))}{2 (2 \cdot 3)} + \frac{- 9}{2}$

ステップ 6.5.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1 \cdot (12^{\frac{3}{2}})}{2 \cdot 3} + \frac{- 9}{2}$

ステップ 6.5.3

$12^{\frac{3}{2}}$ に $1$ をかけます。

$\frac{12^{\frac{3}{2}}}{2 \cdot 3} + \frac{- 9}{2}$

ステップ 6.5.4

$2$ に $3$ をかけます。

$\frac{12^{\frac{3}{2}}}{6} + \frac{- 9}{2}$

ステップ 6.5.5

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{12^{\frac{3}{2}}}{6} - \frac{9}{2}$

ステップ 7

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{12^{\frac{3}{2}}}{6} - \frac{9}{2}$

10進法形式：

$2.42820323 \dots$

ステップ 8

微分積分 例

微分積分例