微分積分例

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} x + \cos (x) d x$

ステップ 1

単一積分を複数積分に分割します。

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} x d x + \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} \cos (x) d x$

ステップ 2

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$\frac{1}{2} x^{2}]_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} + \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} \cos (x) d x$

ステップ 3

$\cos (x)$ の $x$ に関する積分は $\sin (x)$ です。

$\frac{1}{2} x^{2}]_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} + \sin (x)]_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}}$

ステップ 4

答えを簡約します。

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ステップ 4.1

$\frac{1}{2} x^{2}]_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}}$ と $\sin (x)]_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} x^{2} + \sin (x)]_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}}$

ステップ 4.2

$\frac{π}{2}$ および $\frac{π}{6}$ で $\frac{1}{2} x^{2} + \sin (x)$ の値を求めます。

$\frac{1}{2} {(\frac{π}{2})}^{2} + \sin (\frac{π}{2}) - (\frac{1}{2} {(\frac{π}{6})}^{2} + \sin (\frac{π}{6}))$

ステップ 4.3

簡約します。

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ステップ 4.3.1

$\sin (\frac{π}{2})$ の厳密値は $1$ です。

$\frac{1}{2} {(\frac{π}{2})}^{2} + 1 - (\frac{1}{2} {(\frac{π}{6})}^{2} + \sin (\frac{π}{6}))$

ステップ 4.3.2

$\sin (\frac{π}{6})$ の厳密値は $\frac{1}{2}$ です。

$\frac{1}{2} {(\frac{π}{2})}^{2} + 1 - (\frac{1}{2} {(\frac{π}{6})}^{2} + \frac{1}{2})$

ステップ 4.4

簡約します。

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ステップ 4.4.1

積の法則を $\frac{π}{2}$ に当てはめます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{π^{2}}{2^{2}} + 1 - (\frac{1}{2} {(\frac{π}{6})}^{2} + \frac{1}{2})$

ステップ 4.4.2

まとめる。

$\frac{1 π^{2}}{2 \cdot 2^{2}} + 1 - (\frac{1}{2} {(\frac{π}{6})}^{2} + \frac{1}{2})$

ステップ 4.4.3

$π^{2}$ に $1$ をかけます。

$\frac{π^{2}}{2 \cdot 2^{2}} + 1 - (\frac{1}{2} {(\frac{π}{6})}^{2} + \frac{1}{2})$

ステップ 4.4.4

指数を足して $2$ に $2^{2}$ を掛けます。

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ステップ 4.4.4.1

$2$ に $2^{2}$ をかけます。

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ステップ 4.4.4.1.1

$2$ を $1$ 乗します。

$\frac{π^{2}}{2^{1} \cdot 2^{2}} + 1 - (\frac{1}{2} {(\frac{π}{6})}^{2} + \frac{1}{2})$

ステップ 4.4.4.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{π^{2}}{2^{1 + 2}} + 1 - (\frac{1}{2} {(\frac{π}{6})}^{2} + \frac{1}{2})$

ステップ 4.4.4.2

$1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{π^{2}}{2^{3}} + 1 - (\frac{1}{2} {(\frac{π}{6})}^{2} + \frac{1}{2})$

ステップ 4.4.5

積の法則を $\frac{π}{6}$ に当てはめます。

$\frac{π^{2}}{2^{3}} + 1 - (\frac{1}{2} \cdot \frac{π^{2}}{6^{2}} + \frac{1}{2})$

ステップ 4.4.6

まとめる。

$\frac{π^{2}}{2^{3}} + 1 - (\frac{1 π^{2}}{2 \cdot 6^{2}} + \frac{1}{2})$

ステップ 4.4.7

$π^{2}$ に $1$ をかけます。

$\frac{π^{2}}{2^{3}} + 1 - (\frac{π^{2}}{2 \cdot 6^{2}} + \frac{1}{2})$

ステップ 4.4.8

$6$ を $2$ 乗します。

$\frac{π^{2}}{2^{3}} + 1 - (\frac{π^{2}}{2 \cdot 36} + \frac{1}{2})$

ステップ 4.4.9

$2$ に $36$ をかけます。

$\frac{π^{2}}{2^{3}} + 1 - (\frac{π^{2}}{72} + \frac{1}{2})$

ステップ 4.4.10

分配則を当てはめます。

$\frac{π^{2}}{2^{3}} + 1 - \frac{π^{2}}{72} - \frac{1}{2}$

ステップ 4.4.11

$2$ を $3$ 乗します。

$\frac{π^{2}}{8} + 1 - \frac{π^{2}}{72} - \frac{1}{2}$

ステップ 4.4.12

$\frac{π^{2}}{8}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{9}{9}$ を掛けます。

$\frac{π^{2}}{8} \cdot \frac{9}{9} - \frac{π^{2}}{72} + 1 - \frac{1}{2}$

ステップ 4.4.13

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $72$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 4.4.13.1

$\frac{π^{2}}{8}$ に $\frac{9}{9}$ をかけます。

$\frac{π^{2} \cdot 9}{8 \cdot 9} - \frac{π^{2}}{72} + 1 - \frac{1}{2}$

ステップ 4.4.13.2

$8$ に $9$ をかけます。

$\frac{π^{2} \cdot 9}{72} - \frac{π^{2}}{72} + 1 - \frac{1}{2}$

ステップ 4.4.14

公分母の分子をまとめます。

$\frac{π^{2} \cdot 9 - π^{2}}{72} + 1 - \frac{1}{2}$

ステップ 4.4.15

$π^{2} \cdot 9$ から $π^{2}$ を引きます。

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ステップ 4.4.15.1

$π^{2}$ と $9$ を並べ替えます。

$\frac{9 \cdot π^{2} - π^{2}}{72} + 1 - \frac{1}{2}$

ステップ 4.4.15.2

$9 \cdot π^{2}$ から $π^{2}$ を引きます。

$\frac{8 \cdot π^{2}}{72} + 1 - \frac{1}{2}$

ステップ 4.4.16

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{8 \cdot π^{2}}{72} + \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

ステップ 4.4.17

公分母の分子をまとめます。

$\frac{8 \cdot π^{2}}{72} + \frac{2 - 1}{2}$

ステップ 4.4.18

$2$ から $1$ を引きます。

$\frac{8 \cdot π^{2}}{72} + \frac{1}{2}$

ステップ 5

$8$ と $72$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.1

$8$ を $8 \cdot π^{2}$ で因数分解します。

$\frac{8 (π^{2})}{72} + \frac{1}{2}$

ステップ 5.2

共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.1

$8$ を $72$ で因数分解します。

$\frac{8 π^{2}}{8 \cdot 9} + \frac{1}{2}$

ステップ 5.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{8 π^{2}}{8 \cdot 9} + \frac{1}{2}$

ステップ 5.2.3

式を書き換えます。

$\frac{π^{2}}{9} + \frac{1}{2}$

ステップ 6

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{π^{2}}{9} + \frac{1}{2}$

10進法形式：

$1.59662271 \dots$

微分積分 例

微分積分例