微分積分例

$f (x) = \frac{2}{\sqrt{4 x + 3}} - \frac{4}{x^{5}}$

ステップ 1

関数 $F (x)$ は、微分係数 $f (x)$ の不定積分を求めることで求められます。

$F (x) = \int f (x) d x$

ステップ 2

積分を設定し解きます。

$F (x) = \int \frac{2}{\sqrt{4 x + 3}} - \frac{4}{x^{5}} d x$

ステップ 3

単一積分を複数積分に分割します。

$\int \frac{2}{\sqrt{4 x + 3}} d x + \int - \frac{4}{x^{5}} d x$

ステップ 4

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$2 \int \frac{1}{\sqrt{4 x + 3}} d x + \int - \frac{4}{x^{5}} d x$

ステップ 5

$u = 4 x + 3$ とします。次に $d u = 4 d x$ すると、 $\frac{1}{4} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 5.1

$u = 4 x + 3$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 5.1.1

$4 x + 3$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [4 x + 3]$

ステップ 5.1.2

総和則では、 $4 x + 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [3]$ です。

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 5.1.3

$\frac{d}{d x} [4 x]$ の値を求めます。

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ステップ 5.1.3.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 5.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 5.1.3.3

$4$ に $1$ をかけます。

$4 + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 5.1.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 5.1.4.1

$3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $3$ の微分係数は $0$ です。

$4 + 0$

ステップ 5.1.4.2

$4$ と $0$ をたし算します。

$4$

ステップ 5.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$2 \int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{4} d u + \int - \frac{4}{x^{5}} d x$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

$\frac{1}{\sqrt{u}}$ に $\frac{1}{4}$ をかけます。

$2 \int \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 4} d u + \int - \frac{4}{x^{5}} d x$

ステップ 6.2

$4$ を $\sqrt{u}$ の左に移動させます。

$2 \int \frac{1}{4 \sqrt{u}} d u + \int - \frac{4}{x^{5}} d x$

ステップ 7

$\frac{1}{4}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{4}$ を積分の外に移動させます。

$2 (\frac{1}{4} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u) + \int - \frac{4}{x^{5}} d x$

ステップ 8

式を簡約します。

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ステップ 8.1

簡約します。

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ステップ 8.1.1

$\frac{1}{4}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{2}{4} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u + \int - \frac{4}{x^{5}} d x$

ステップ 8.1.2

$2$ と $4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.1.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{2 (1)}{4} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u + \int - \frac{4}{x^{5}} d x$

ステップ 8.1.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 8.1.2.2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u + \int - \frac{4}{x^{5}} d x$

ステップ 8.1.2.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u + \int - \frac{4}{x^{5}} d x$

ステップ 8.1.2.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u + \int - \frac{4}{x^{5}} d x$

ステップ 8.2

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 8.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{u}$ を $u^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u + \int - \frac{4}{x^{5}} d x$

ステップ 8.2.2

$u^{\frac{1}{2}}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\frac{1}{2} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u + \int - \frac{4}{x^{5}} d x$

ステップ 8.2.3

${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 8.2.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u + \int - \frac{4}{x^{5}} d x$

ステップ 8.2.3.2

$\frac{1}{2}$ と $- 1$ をまとめます。

$\frac{1}{2} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u + \int - \frac{4}{x^{5}} d x$

ステップ 8.2.3.3

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{2} \int u^{- \frac{1}{2}} d u + \int - \frac{4}{x^{5}} d x$

ステップ 9

べき乗則では、 $u^{- \frac{1}{2}}$ の $u$ に関する積分は $2 u^{\frac{1}{2}}$ です。

$\frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C) + \int - \frac{4}{x^{5}} d x$

ステップ 10

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C) - \int \frac{4}{x^{5}} d x$

ステップ 11

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $4$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C) - (4 \int \frac{1}{x^{5}} d x)$

ステップ 12

式を簡約します。

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ステップ 12.1

$4$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C) - 4 \int \frac{1}{x^{5}} d x$

ステップ 12.2

$x^{5}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C) - 4 \int {(x^{5})}^{- 1} d x$

ステップ 12.3

${(x^{5})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 12.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C) - 4 \int x^{5 \cdot - 1} d x$

ステップ 12.3.2

$5$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C) - 4 \int x^{- 5} d x$

ステップ 13

べき乗則では、 $x^{- 5}$ の $x$ に関する積分は $- \frac{1}{4} x^{- 4}$ です。

$\frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C) - 4 (- \frac{1}{4} x^{- 4} + C)$

ステップ 14

簡約します。

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ステップ 14.1

簡約します。

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ステップ 14.1.1

$x^{- 4}$ と $\frac{1}{4}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C) - 4 (- \frac{x^{- 4}}{4} + C)$

ステップ 14.1.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- 4}$ を分母に移動させます。

$\frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C) - 4 (- \frac{1}{4 x^{4}} + C)$

ステップ 14.2

簡約します。

$u^{\frac{1}{2}} - 4 (- \frac{1}{4 x^{4}}) + C$

ステップ 14.3

簡約します。

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ステップ 14.3.1

$- 1$ に $- 4$ をかけます。

$u^{\frac{1}{2}} + 4 \frac{1}{4 x^{4}} + C$

ステップ 14.3.2

$4$ と $\frac{1}{4 x^{4}}$ をまとめます。

$u^{\frac{1}{2}} + \frac{4}{4 x^{4}} + C$

ステップ 14.3.3

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 14.3.3.1

共通因数を約分します。

$u^{\frac{1}{2}} + \frac{4}{4 x^{4}} + C$

ステップ 14.3.3.2

式を書き換えます。

$u^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{x^{4}} + C$

ステップ 15

$u$ のすべての発生を $4 x + 3$ で置き換えます。

${(4 x + 3)}^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{x^{4}} + C$

ステップ 16

答えは関数 $f (x) = \frac{2}{\sqrt{4 x + 3}} - \frac{4}{x^{5}}$ の不定積分です。

$F (x) =$ ${(4 x + 3)}^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{x^{4}} + C$

微分積分 例

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