微分積分例

${(\frac{1}{x})}^{x}$

ステップ 1

対数の性質を利用して微分を簡約します。

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ステップ 1.1

${(\frac{1}{x})}^{x}$ を $e^{\ln ({(\frac{1}{x})}^{x})}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [e^{\ln ({(\frac{1}{x})}^{x})}]$

ステップ 1.2

$x$ を対数の外に移動させて、 $\ln ({(\frac{1}{x})}^{x})$ を展開します。

$\frac{d}{d x} [e^{x \ln (\frac{1}{x})}]$

ステップ 2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = x \ln (\frac{1}{x})$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $x \ln (\frac{1}{x})$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x \ln (\frac{1}{x})]$

ステップ 2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ は $a^{u_{1}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x \ln (\frac{1}{x})]$

ステップ 2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $x \ln (\frac{1}{x})$ で置き換えます。

$e^{x \ln (\frac{1}{x})} \frac{d}{d x} [x \ln (\frac{1}{x})]$

ステップ 3

$f (x) = x$ および $g (x) = \ln (\frac{1}{x})$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$e^{x \ln (\frac{1}{x})} (x \frac{d}{d x} [\ln (\frac{1}{x})] + \ln (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = \frac{1}{x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 4.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $\frac{1}{x}$ とします。

$e^{x \ln (\frac{1}{x})} (x (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) + \ln (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4.2

$u_{2}$ に関する $\ln (u_{2})$ の微分係数は $\frac{1}{u_{2}}$ です。

$e^{x \ln (\frac{1}{x})} (x (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) + \ln (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4.3

$u_{2}$ のすべての発生を $\frac{1}{x}$ で置き換えます。

$e^{x \ln (\frac{1}{x})} (x (\frac{1}{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) + \ln (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 5

分数の逆数を掛け、 $\frac{1}{x}$ で割ります。

$e^{x \ln (\frac{1}{x})} (x (1 x \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) + \ln (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 6

$x$ に $1$ をかけます。

$e^{x \ln (\frac{1}{x})} (x (x \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) + \ln (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 7

$x$ を $1$ 乗します。

$e^{x \ln (\frac{1}{x})} (x^{1} x \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \ln (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 8

$x$ を $1$ 乗します。

$e^{x \ln (\frac{1}{x})} (x^{1} x^{1} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \ln (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 9

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$e^{x \ln (\frac{1}{x})} (x^{1 + 1} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \ln (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 10

式を簡約します。

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ステップ 10.1

$1$ と $1$ をたし算します。

$e^{x \ln (\frac{1}{x})} (x^{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \ln (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 10.2

$\frac{1}{x}$ を $x^{- 1}$ に書き換えます。

$e^{x \ln (\frac{1}{x})} (x^{2} \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \ln (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 11

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{x \ln (\frac{1}{x})} (x^{2} (- x^{- 2}) + \ln (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 12

指数を足して $x^{2}$ に $x^{- 2}$ を掛けます。

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ステップ 12.1

$x^{- 2}$ を移動させます。

$e^{x \ln (\frac{1}{x})} (x^{- 2} x^{2} \cdot - 1 + \ln (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 12.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$e^{x \ln (\frac{1}{x})} (x^{- 2 + 2} \cdot - 1 + \ln (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 12.3

$- 2$ と $2$ をたし算します。

$e^{x \ln (\frac{1}{x})} (x^{0} \cdot - 1 + \ln (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 13

$x^{0} \cdot - 1$ を簡約します。

$e^{x \ln (\frac{1}{x})} (- 1 + \ln (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 14

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{x \ln (\frac{1}{x})} (- 1 + \ln (\frac{1}{x}) \cdot 1)$

ステップ 15

$\ln (\frac{1}{x})$ に $1$ をかけます。

$e^{x \ln (\frac{1}{x})} (- 1 + \ln (\frac{1}{x}))$

ステップ 16

簡約します。

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ステップ 16.1

分配則を当てはめます。

$e^{x \ln (\frac{1}{x})} \cdot - 1 + e^{x \ln (\frac{1}{x})} \ln (\frac{1}{x})$

ステップ 16.2

項をまとめます。

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ステップ 16.2.1

$- 1$ を $e^{x \ln (\frac{1}{x})}$ の左に移動させます。

$- 1 \cdot e^{x \ln (\frac{1}{x})} + e^{x \ln (\frac{1}{x})} \ln (\frac{1}{x})$

ステップ 16.2.2

$- 1 e^{x \ln (\frac{1}{x})}$ を $- e^{x \ln (\frac{1}{x})}$ に書き換えます。

$- e^{x \ln (\frac{1}{x})} + e^{x \ln (\frac{1}{x})} \ln (\frac{1}{x})$

ステップ 16.3

項を並べ替えます。

$e^{x \ln (\frac{1}{x})} \ln (\frac{1}{x}) - e^{x \ln (\frac{1}{x})}$

微分積分 例

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