微分積分例

$f (θ) = \cos (θ + \frac{π}{3})$ about $θ = 0$

ステップ 1

$a$ で線形化を求めるために使用する関数を考えます。

$L (x) = f (a) + f' (a) (x - a)$

ステップ 2

$a = 0$ の値を線形化関数に代入します。

$L (x) = f (0) + f' (0) (x - 0)$

ステップ 3

$f (0)$ の値を求めます。

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ステップ 3.1

式の変数 $θ$ を $0$ で置換えます。

$f (0) = \cos ((0) + \frac{π}{3})$

ステップ 3.2

$\cos ((0) + \frac{π}{3})$ を簡約します。

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ステップ 3.2.1

括弧を削除します。

$\cos ((0) + \frac{π}{3})$

ステップ 3.2.2

$0$ と $\frac{π}{3}$ をたし算します。

$\cos (\frac{π}{3})$

ステップ 3.2.3

$\cos (\frac{π}{3})$ の厳密値は $\frac{1}{2}$ です。

$\frac{1}{2}$

ステップ 4

微分係数を求め、 $0$ で値を求めます。

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ステップ 4.1

$f (θ) = \cos (θ + \frac{π}{3})$ の微分係数を求めます。

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ステップ 4.1.1

$f (θ) = \cos (θ)$ および $g (θ) = θ + \frac{π}{3}$ のとき、 $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ は $f' (g (θ)) g' (θ)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 4.1.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $θ + \frac{π}{3}$ とします。

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d θ} [θ + \frac{π}{3}]$

ステップ 4.1.1.2

$u$ に関する $\cos (u)$ の微分係数は $- \sin (u)$ です。

$- \sin (u) \frac{d}{d θ} [θ + \frac{π}{3}]$

ステップ 4.1.1.3

$u$ のすべての発生を $θ + \frac{π}{3}$ で置き換えます。

$- \sin (θ + \frac{π}{3}) \frac{d}{d θ} [θ + \frac{π}{3}]$

ステップ 4.1.2

微分します。

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ステップ 4.1.2.1

総和則では、 $θ + \frac{π}{3}$ の $θ$ に関する積分は $\frac{d}{d θ} [θ] + \frac{d}{d θ} [\frac{π}{3}]$ です。

$- \sin (θ + \frac{π}{3}) (\frac{d}{d θ} [θ] + \frac{d}{d θ} [\frac{π}{3}])$

ステップ 4.1.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ は $n θ^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \sin (θ + \frac{π}{3}) (1 + \frac{d}{d θ} [\frac{π}{3}])$

ステップ 4.1.2.3

$\frac{π}{3}$ は $θ$ について定数なので、 $θ$ について $\frac{π}{3}$ の微分係数は $0$ です。

$- \sin (θ + \frac{π}{3}) (1 + 0)$

ステップ 4.1.2.4

式を簡約します。

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ステップ 4.1.2.4.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$- \sin (θ + \frac{π}{3}) \cdot 1$

ステップ 4.1.2.4.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- \sin (θ + \frac{π}{3})$

ステップ 4.2

式の変数 $θ$ を $0$ で置換えます。

$- \sin ((0) + \frac{π}{3})$

ステップ 4.3

簡約します。

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ステップ 4.3.1

$0$ と $\frac{π}{3}$ をたし算します。

$- \sin (\frac{π}{3})$

ステップ 4.3.2

$\sin (\frac{π}{3})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{3}}{2}$ です。

$- \frac{\sqrt{3}}{2}$

ステップ 5

成分を線形化関数に代入し、 $a$ における線形化を求めます。

$L (x) = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} (x - 0)$

ステップ 6

各項を簡約します。

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ステップ 6.1

$x$ から $0$ を引きます。

$L (x) = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} x$

ステップ 6.2

$x$ と $\frac{\sqrt{3}}{2}$ をまとめます。

$L (x) = \frac{1}{2} - \frac{x \sqrt{3}}{2}$

ステップ 7

微分積分 例

微分積分例