微分積分例

$\int 2 x \sqrt{x - 5} d x$

ステップ 1

$u = x - 5$ とします。次に $d u = d x$ 。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u = x - 5$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$x - 5$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x - 5]$

ステップ 1.1.2

総和則では、 $x - 5$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

ステップ 1.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [- 5]$

ステップ 1.1.4

$- 5$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 5$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 1.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 1.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int 2 (u + 5) \sqrt{u} d u$

ステップ 2

$2$ は $u$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$2 \int (u + 5) \sqrt{u} d u$

ステップ 3

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{u}$ を $u^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$2 \int (u + 5) u^{\frac{1}{2}} d u$

ステップ 4

$(u + 5) u^{\frac{1}{2}}$ を展開します。

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ステップ 4.1

分配則を当てはめます。

$2 \int u \cdot u^{\frac{1}{2}} + 5 u^{\frac{1}{2}} d u$

ステップ 4.2

$u$ を $1$ 乗します。

$2 \int u^{1} u^{\frac{1}{2}} + 5 u^{\frac{1}{2}} d u$

ステップ 4.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$2 \int u^{1 + \frac{1}{2}} + 5 u^{\frac{1}{2}} d u$

ステップ 4.4

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$2 \int u^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} + 5 u^{\frac{1}{2}} d u$

ステップ 4.5

公分母の分子をまとめます。

$2 \int u^{\frac{2 + 1}{2}} + 5 u^{\frac{1}{2}} d u$

ステップ 4.6

$2$ と $1$ をたし算します。

$2 \int u^{\frac{3}{2}} + 5 u^{\frac{1}{2}} d u$

ステップ 4.7

$u^{\frac{3}{2}}$ と $5 u^{\frac{1}{2}}$ を並べ替えます。

$2 \int 5 u^{\frac{1}{2}} + u^{\frac{3}{2}} d u$

ステップ 5

単一積分を複数積分に分割します。

$2 (\int 5 u^{\frac{1}{2}} d u + \int u^{\frac{3}{2}} d u)$

ステップ 6

$5$ は $u$ に対して定数なので、 $5$ を積分の外に移動させます。

$2 (5 \int u^{\frac{1}{2}} d u + \int u^{\frac{3}{2}} d u)$

ステップ 7

べき乗則では、 $u^{\frac{1}{2}}$ の $u$ に関する積分は $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ です。

$2 (5 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C) + \int u^{\frac{3}{2}} d u)$

ステップ 8

べき乗則では、 $u^{\frac{3}{2}}$ の $u$ に関する積分は $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ です。

$2 (5 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C) + \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C)$

ステップ 9

簡約します。

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ステップ 9.1

簡約します。

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ステップ 9.1.1

$\frac{2}{3}$ と $u^{\frac{3}{2}}$ をまとめます。

$2 (5 (\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C)$

ステップ 9.1.2

$\frac{2}{5}$ と $u^{\frac{5}{2}}$ をまとめます。

$2 (5 (\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + \frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} + C)$

ステップ 9.2

簡約します。

$2 (\frac{10 u^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

ステップ 9.3

項を並べ替えます。

$2 (\frac{10}{3} u^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}) + C$

ステップ 10

$u$ のすべての発生を $x - 5$ で置き換えます。

$2 (\frac{10}{3} {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{5} {(x - 5)}^{\frac{5}{2}}) + C$

ステップ 11

簡約します。

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ステップ 11.1

各項を簡約します。

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ステップ 11.1.1

$\frac{10}{3}$ と ${(x - 5)}^{\frac{3}{2}}$ をまとめます。

$2 (\frac{10 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2}{5} {(x - 5)}^{\frac{5}{2}}) + C$

ステップ 11.1.2

$\frac{2}{5}$ と ${(x - 5)}^{\frac{5}{2}}$ をまとめます。

$2 (\frac{10 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2 {(x - 5)}^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

ステップ 11.2

$\frac{10 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}}}{3}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{5}{5}$ を掛けます。

$2 (\frac{10 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}}}{3} \cdot \frac{5}{5} + \frac{2 {(x - 5)}^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

ステップ 11.3

$\frac{2 {(x - 5)}^{\frac{5}{2}}}{5}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$2 (\frac{10 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}}}{3} \cdot \frac{5}{5} + \frac{2 {(x - 5)}^{\frac{5}{2}}}{5} \cdot \frac{3}{3}) + C$

ステップ 11.4

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $15$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 11.4.1

$\frac{10 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}}}{3}$ に $\frac{5}{5}$ をかけます。

$2 (\frac{10 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} \cdot 5}{3 \cdot 5} + \frac{2 {(x - 5)}^{\frac{5}{2}}}{5} \cdot \frac{3}{3}) + C$

ステップ 11.4.2

$3$ に $5$ をかけます。

$2 (\frac{10 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} \cdot 5}{15} + \frac{2 {(x - 5)}^{\frac{5}{2}}}{5} \cdot \frac{3}{3}) + C$

ステップ 11.4.3

$\frac{2 {(x - 5)}^{\frac{5}{2}}}{5}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$2 (\frac{10 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} \cdot 5}{15} + \frac{2 {(x - 5)}^{\frac{5}{2}} \cdot 3}{5 \cdot 3}) + C$

ステップ 11.4.4

$5$ に $3$ をかけます。

$2 (\frac{10 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} \cdot 5}{15} + \frac{2 {(x - 5)}^{\frac{5}{2}} \cdot 3}{15}) + C$

ステップ 11.5

公分母の分子をまとめます。

$2 \frac{10 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} \cdot 5 + 2 {(x - 5)}^{\frac{5}{2}} \cdot 3}{15} + C$

ステップ 11.6

分子を簡約します。

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ステップ 11.6.1

$2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}}$ を $10 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} \cdot 5 + 2 {(x - 5)}^{\frac{5}{2}} \cdot 3$ で因数分解します。

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ステップ 11.6.1.1

式を並べ替えます。

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ステップ 11.6.1.1.1

${(x - 5)}^{\frac{3}{2}}$ を移動させます。

$2 \frac{10 \cdot 5 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} + 2 {(x - 5)}^{\frac{5}{2}} \cdot 3}{15} + C$

ステップ 11.6.1.1.2

${(x - 5)}^{\frac{5}{2}}$ を移動させます。

$2 \frac{10 \cdot 5 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 3 {(x - 5)}^{\frac{5}{2}}}{15} + C$

ステップ 11.6.1.2

$2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}}$ を $10 \cdot 5 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}}$ で因数分解します。

$2 \frac{2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} (5 \cdot 5) + 2 \cdot 3 {(x - 5)}^{\frac{5}{2}}}{15} + C$

ステップ 11.6.1.3

$2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}}$ を $2 \cdot 3 {(x - 5)}^{\frac{5}{2}}$ で因数分解します。

$2 \frac{2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} (5 \cdot 5) + 2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} (3 {(x - 5)}^{\frac{2}{2}})}{15} + C$

ステップ 11.6.1.4

$2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}}$ を $2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} (5 \cdot 5) + 2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} (3 {(x - 5)}^{\frac{2}{2}})$ で因数分解します。

$2 \frac{2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} (5 \cdot 5 + 3 {(x - 5)}^{\frac{2}{2}})}{15} + C$

ステップ 11.6.2

$5$ に $5$ をかけます。

$2 \frac{2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} (25 + 3 {(x - 5)}^{\frac{2}{2}})}{15} + C$

ステップ 11.6.3

各項を簡約します。

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ステップ 11.6.3.1

$2$ を $2$ で割ります。

$2 \frac{2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} (25 + 3 {(x - 5)}^{1})}{15} + C$

ステップ 11.6.3.2

簡約します。

$2 \frac{2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} (25 + 3 (x - 5))}{15} + C$

ステップ 11.6.3.3

分配則を当てはめます。

$2 \frac{2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} (25 + 3 x + 3 \cdot - 5)}{15} + C$

ステップ 11.6.3.4

$3$ に $- 5$ をかけます。

$2 \frac{2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} (25 + 3 x - 15)}{15} + C$

ステップ 11.6.4

$25$ から $15$ を引きます。

$2 \frac{2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} (3 x + 10)}{15} + C$

ステップ 11.7

$2 \frac{2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} (3 x + 10)}{15}$ を掛けます。

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ステップ 11.7.1

$2$ と $\frac{2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} (3 x + 10)}{15}$ をまとめます。

$\frac{2 (2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} (3 x + 10))}{15} + C$

ステップ 11.7.2

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{4 ({(x - 5)}^{\frac{3}{2}} (3 x + 10))}{15} + C$

$\frac{4 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} (3 x + 10)}{15} + C$

微分積分 例

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