微分積分例

$\int {(x - 5)}^{2} e^{x} d x$

ステップ 1

$u = {(x - 5)}^{2}$ と $d v = e^{x}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

${(x - 5)}^{2} e^{x} - \int e^{x} (2 x - 10) d x$

ステップ 2

$u = 2 x - 10$ と $d v = e^{x}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

${(x - 5)}^{2} e^{x} - ((2 x - 10) e^{x} - \int e^{x} \cdot 2 d x)$

ステップ 3

$2$ を $e^{x}$ の左に移動させます。

${(x - 5)}^{2} e^{x} - ((2 x - 10) e^{x} - \int 2 e^{x} d x)$

ステップ 4

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

${(x - 5)}^{2} e^{x} - ((2 x - 10) e^{x} - (2 \int e^{x} d x))$

ステップ 5

$2$ に $- 1$ をかけます。

${(x - 5)}^{2} e^{x} - ((2 x - 10) e^{x} - 2 \int e^{x} d x)$

ステップ 6

$e^{x}$ の $x$ に関する積分は $e^{x}$ です。

${(x - 5)}^{2} e^{x} - ((2 x - 10) e^{x} - 2 (e^{x} + C))$

ステップ 7

答えを簡約します。

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ステップ 7.1

${(x - 5)}^{2} e^{x} - ((2 x - 10) e^{x} - 2 (e^{x} + C))$ を $(x - 5) (x - 5) e^{x} - ((2 x - 10) e^{x} - 2 e^{x}) + C$ に書き換えます。

$(x - 5) (x - 5) e^{x} - ((2 x - 10) e^{x} - 2 e^{x}) + C$

ステップ 7.2

簡約します。

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ステップ 7.2.1

$x - 5$ を $1$ 乗します。

${(x - 5)}^{1} (x - 5) e^{x} - ((2 x - 10) e^{x} - 2 e^{x}) + C$

ステップ 7.2.2

$x - 5$ を $1$ 乗します。

${(x - 5)}^{1} {(x - 5)}^{1} e^{x} - ((2 x - 10) e^{x} - 2 e^{x}) + C$

ステップ 7.2.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

${(x - 5)}^{1 + 1} e^{x} - ((2 x - 10) e^{x} - 2 e^{x}) + C$

ステップ 7.2.4

$1$ と $1$ をたし算します。

${(x - 5)}^{2} e^{x} - ((2 x - 10) e^{x} - 2 e^{x}) + C$

ステップ 7.3

簡約します。

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ステップ 7.3.1

分配則を当てはめます。

${(x - 5)}^{2} e^{x} - ((2 x - 10) e^{x}) - (- 2 e^{x}) + C$

ステップ 7.3.2

$- 2$ に $- 1$ をかけます。

${(x - 5)}^{2} e^{x} - (2 x - 10) e^{x} + 2 e^{x} + C$

ステップ 7.3.3

$- (2 x - 10) e^{x} + 2 e^{x}$ の因数を並べ替えます。

${(x - 5)}^{2} e^{x} - e^{x} (2 x - 10) + 2 e^{x} + C$

微分積分 例

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