微分積分例

$\sum_{i = 1}^{\infty} \frac{1}{2} {(\frac{1}{3})}^{i - 1}$

ステップ 1

$a$ が第1項、 $r$ が連続する項の間の比の時、無限等比級数の和は公式 $\frac{a}{1 - r}$ を利用して求められます。

ステップ 2

公式 $r = \frac{a_{i + 1}}{a_{i}}$ に代入し簡約することで、連続する項の比を求めます。

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ステップ 2.1

$a_{i}$ と $a_{i + 1}$ を $r$ の公式に代入します。

$r = \frac{\frac{1}{2} \cdot {(\frac{1}{3})}^{i + 1 - 1}}{\frac{1}{2} \cdot {(\frac{1}{3})}^{i - 1}}$

ステップ 2.2

簡約します。

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ステップ 2.2.1

$\frac{1}{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.1.1

共通因数を約分します。

$r = \frac{\frac{1}{2} \cdot {(\frac{1}{3})}^{i + 1 - 1}}{\frac{1}{2} \cdot {(\frac{1}{3})}^{i - 1}}$

ステップ 2.2.1.2

式を書き換えます。

$r = \frac{{(\frac{1}{3})}^{i + 1 - 1}}{{(\frac{1}{3})}^{i - 1}}$

ステップ 2.2.2

${(\frac{1}{3})}^{i + 1 - 1}$ と ${(\frac{1}{3})}^{i - 1}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.2.1

${(\frac{1}{3})}^{i - 1}$ を ${(\frac{1}{3})}^{i + 1 - 1}$ で因数分解します。

$r = \frac{{(\frac{1}{3})}^{i - 1} {(\frac{1}{3})}^{i + 0 - (i - 1)}}{{(\frac{1}{3})}^{i - 1}}$

ステップ 2.2.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.2.2.1

$1$ を掛けます。

$r = \frac{{(\frac{1}{3})}^{i - 1} {(\frac{1}{3})}^{i + 0 - (i - 1)}}{{(\frac{1}{3})}^{i - 1} \cdot 1}$

ステップ 2.2.2.2.2

共通因数を約分します。

$r = \frac{{(\frac{1}{3})}^{i - 1} {(\frac{1}{3})}^{i + 0 - (i - 1)}}{{(\frac{1}{3})}^{i - 1} \cdot 1}$

ステップ 2.2.2.2.3

式を書き換えます。

$r = \frac{{(\frac{1}{3})}^{i + 0 - (i - 1)}}{1}$

ステップ 2.2.2.2.4

${(\frac{1}{3})}^{i + 0 - (i - 1)}$ を $1$ で割ります。

$r = {(\frac{1}{3})}^{i + 0 - (i - 1)}$

ステップ 2.2.3

$i$ と $0$ をたし算します。

$r = {(\frac{1}{3})}^{i - (i - 1)}$

ステップ 2.2.4

各項を簡約します。

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ステップ 2.2.4.1

分配則を当てはめます。

$r = {(\frac{1}{3})}^{i - i - - 1}$

ステップ 2.2.4.2

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$r = {(\frac{1}{3})}^{i - i + 1}$

ステップ 2.2.5

$i$ から $i$ を引きます。

$r = {(\frac{1}{3})}^{0 + 1}$

ステップ 2.2.6

$0$ と $1$ をたし算します。

$r = {(\frac{1}{3})}^{1}$

ステップ 2.2.7

簡約します。

$r = \frac{1}{3}$

ステップ 3

$| r | < 1$ なので、級数は収束します。

ステップ 4

下界に代入し簡約することで級数の第1項を求めます。

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ステップ 4.1

$i$ の $1$ を $\frac{1}{2} \cdot {(\frac{1}{3})}^{i - 1}$ に代入します。

$a = \frac{1}{2} \cdot {(\frac{1}{3})}^{1 - 1}$

ステップ 4.2

簡約します。

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ステップ 4.2.1

$1$ から $1$ を引きます。

$a = \frac{1}{2} \cdot {(\frac{1}{3})}^{0}$

ステップ 4.2.2

積の法則を $\frac{1}{3}$ に当てはめます。

$a = \frac{1}{2} \cdot \frac{1^{0}}{3^{0}}$

ステップ 4.2.3

まとめる。

$a = \frac{1 \cdot 1^{0}}{2 \cdot 3^{0}}$

ステップ 4.2.4

指数を足して $1$ に $1^{0}$ を掛けます。

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ステップ 4.2.4.1

$1$ に $1^{0}$ をかけます。

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ステップ 4.2.4.1.1

$1$ を $1$ 乗します。

$a = \frac{1^{1} \cdot 1^{0}}{2 \cdot 3^{0}}$

ステップ 4.2.4.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$a = \frac{1^{1 + 0}}{2 \cdot 3^{0}}$

ステップ 4.2.4.2

$1$ と $0$ をたし算します。

$a = \frac{1^{1}}{2 \cdot 3^{0}}$

ステップ 4.2.5

$1^{1}$ を簡約します。

$a = \frac{1}{2 \cdot 3^{0}}$

ステップ 4.2.6

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$a = \frac{1}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.2.7

$2$ に $1$ をかけます。

$a = \frac{1}{2}$

ステップ 5

比と第1項の値を和の公式に代入します。

$\frac{\frac{1}{2}}{1 - \frac{1}{3}}$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1 - \frac{1}{3}}$

ステップ 6.2

分母を簡約します。

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ステップ 6.2.1

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{3}{3} - \frac{1}{3}}$

ステップ 6.2.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{3 - 1}{3}}$

ステップ 6.2.3

$3$ から $1$ を引きます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{2}{3}}$

ステップ 6.3

分子に分母の逆数を掛けます。

$\frac{1}{2} (1 (\frac{3}{2}))$

ステップ 6.4

$\frac{3}{2}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2}$

ステップ 6.5

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2}$ を掛けます。

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ステップ 6.5.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{3}{2}$ をかけます。

$\frac{3}{2 \cdot 2}$

ステップ 6.5.2

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{3}{4}$

ステップ 7

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{3}{4}$

10進法形式：

$0.75$

微分積分 例

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