微分積分例

$lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x + 4} - 2}{x^{2} + x}$

ステップ 1

ロピタルの定理を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to 0} \sqrt{x + 4} - 2}{lim_{x \to 0} x^{2} + x}$

ステップ 1.1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1.1

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to 0} \sqrt{x + 4} - lim_{x \to 0} 2}{lim_{x \to 0} x^{2} + x}$

ステップ 1.1.2.1.2

根号の下に極限を移動させます。

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 0} x + 4} - lim_{x \to 0} 2}{lim_{x \to 0} x^{2} + x}$

ステップ 1.1.2.1.3

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 4} - lim_{x \to 0} 2}{lim_{x \to 0} x^{2} + x}$

ステップ 1.1.2.1.4

$x$ が $0$ に近づくと定数である $4$ の極限値を求めます。

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 0} x + 4} - lim_{x \to 0} 2}{lim_{x \to 0} x^{2} + x}$

ステップ 1.1.2.1.5

$x$ が $0$ に近づくと定数である $2$ の極限値を求めます。

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 0} x + 4} - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 0} x^{2} + x}$

ステップ 1.1.2.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{\sqrt{0 + 4} - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 0} x^{2} + x}$

ステップ 1.1.2.3

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.1.2.3.1.1

$0$ と $4$ をたし算します。

$\frac{\sqrt{4} - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 0} x^{2} + x}$

ステップ 1.1.2.3.1.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{2^{2}} - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 0} x^{2} + x}$

ステップ 1.1.2.3.1.3

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{2 - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 0} x^{2} + x}$

ステップ 1.1.2.3.1.4

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{2 - 2}{lim_{x \to 0} x^{2} + x}$

ステップ 1.1.2.3.2

$2$ から $2$ を引きます。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x^{2} + x}$

ステップ 1.1.3

分母の極限値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x^{2} + lim_{x \to 0} x}$

ステップ 1.1.3.2

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $x^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} + lim_{x \to 0} x}$

ステップ 1.1.3.3

すべての $x$ に $0$ に代入し、極限値を求めます。

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ステップ 1.1.3.3.1

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{0^{2} + lim_{x \to 0} x}$

ステップ 1.1.3.3.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{0^{2} + 0}$

ステップ 1.1.3.4

答えを簡約します。

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ステップ 1.1.3.4.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\frac{0}{0 + 0}$

ステップ 1.1.3.4.2

$0$ と $0$ をたし算します。

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.3.4.3

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.3.5

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x + 4} - 2}{x^{2} + x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 4} - 2]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

ステップ 1.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 1.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 4} - 2]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

ステップ 1.3.2

総和則では、 $\sqrt{x + 4} - 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 4}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 4}] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

ステップ 1.3.3

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 4}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.3.3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x + 4}$ を ${(x + 4)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

ステップ 1.3.3.2

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = x + 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.3.3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x + 4$ とします。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 4] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

ステップ 1.3.3.2.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 4] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

ステップ 1.3.3.2.3

$u$ のすべての発生を $x + 4$ で置き換えます。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(x + 4)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 4] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

ステップ 1.3.3.3

総和則では、 $x + 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(x + 4)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

ステップ 1.3.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(x + 4)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + \frac{d}{d x} [4]) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

ステップ 1.3.3.5

$4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $4$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(x + 4)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

ステップ 1.3.3.6

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(x + 4)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

ステップ 1.3.3.7

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(x + 4)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

ステップ 1.3.3.8

公分母の分子をまとめます。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(x + 4)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

ステップ 1.3.3.9

分子を簡約します。

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ステップ 1.3.3.9.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(x + 4)}^{\frac{1 - 2}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

ステップ 1.3.3.9.2

$1$ から $2$ を引きます。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(x + 4)}^{\frac{- 1}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

ステップ 1.3.3.10

分数の前に負数を移動させます。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(x + 4)}^{- \frac{1}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

ステップ 1.3.3.11

$1$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(x + 4)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

ステップ 1.3.3.12

$\frac{1}{2}$ と ${(x + 4)}^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{{(x + 4)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

ステップ 1.3.3.13

$\frac{{(x + 4)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{{(x + 4)}^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

ステップ 1.3.3.14

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(x + 4)}^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

ステップ 1.3.4

$- 2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 2$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}} + 0}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

ステップ 1.3.5

$\frac{1}{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

ステップ 1.3.6

総和則では、 $x^{2} + x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 1.3.7

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + \frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 1.3.8

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 1}$

ステップ 1.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$lim_{x \to 0} \frac{1}{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 x + 1}$

ステップ 1.5

${(x + 4)}^{\frac{1}{2}}$ を $\sqrt{x + 4}$ に書き換えます。

$lim_{x \to 0} \frac{1}{2 \sqrt{x + 4}} \cdot \frac{1}{2 x + 1}$

ステップ 1.6

$\frac{1}{2 \sqrt{x + 4}}$ に $\frac{1}{2 x + 1}$ をかけます。

$lim_{x \to 0} \frac{1}{2 \sqrt{x + 4} (2 x + 1)}$

ステップ 2

極限を求めます。

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ステップ 2.1

$\frac{1}{2}$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{x + 4} (2 x + 1)}$

ステップ 2.2

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} \sqrt{x + 4} (2 x + 1)}$

ステップ 2.3

$x$ が $0$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 0} \sqrt{x + 4} (2 x + 1)}$

ステップ 2.4

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の積を利用して極限を分割します。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 0} \sqrt{x + 4} \cdot lim_{x \to 0} 2 x + 1}$

ステップ 2.5

根号の下に極限を移動させます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 0} x + 4} \cdot lim_{x \to 0} 2 x + 1}$

ステップ 2.6

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 4} \cdot lim_{x \to 0} 2 x + 1}$

ステップ 2.7

$x$ が $0$ に近づくと定数である $4$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 0} x + 4} \cdot lim_{x \to 0} 2 x + 1}$

ステップ 2.8

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 0} x + 4} \cdot (lim_{x \to 0} 2 x + lim_{x \to 0} 1)}$

ステップ 2.9

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 0} x + 4} \cdot (2 lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 1)}$

ステップ 2.10

$x$ が $0$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 0} x + 4} \cdot (2 lim_{x \to 0} x + 1)}$

ステップ 3

すべての $x$ に $0$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{0 + 4} \cdot (2 lim_{x \to 0} x + 1)}$

ステップ 3.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{0 + 4} \cdot (2 \cdot 0 + 1)}$

ステップ 4

答えを簡約します。

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ステップ 4.1

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

$2$ に $0$ をかけます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{0 + 4} (0 + 1)}$

ステップ 4.1.2

$0$ と $1$ をたし算します。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{0 + 4} \cdot 1}$

ステップ 4.1.3

$0$ と $4$ をたし算します。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{4} \cdot 1}$

ステップ 4.1.4

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2^{2}} \cdot 1}$

ステップ 4.1.5

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.2

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$

ステップ 4.3

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$\frac{1}{2 \cdot 2}$

ステップ 4.3.2

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{4}$

ステップ 5

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{1}{4}$

10進法形式：

$0.25$

微分積分 例

微分積分例