微分積分例

$\int \frac{5 x}{4 x + 4 x^{2}} d x$

ステップ 1

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $5$ を積分の外に移動させます。

$5 \int \frac{x}{4 x + 4 x^{2}} d x$

ステップ 2

部分分数分解を利用して分数を書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

分数を分解し、公分母を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

分数を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.1

$4 x$ を $4 x + 4 x^{2}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.1.1

$4 x$ を $4 x$ で因数分解します。

$\frac{x}{4 x (1) + 4 x^{2}}$

ステップ 2.1.1.1.2

$4 x$ を $4 x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{x}{4 x (1) + 4 x (x)}$

ステップ 2.1.1.1.3

$4 x$ を $4 x (1) + 4 x (x)$ で因数分解します。

$\frac{x}{4 x (1 + x)}$

ステップ 2.1.1.2

今日数因数で約分することで式 $\frac{x}{4 x (1 + x)}$ を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{x}{4 x (1 + x)}$

ステップ 2.1.1.2.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{4 (1 + x)}$

ステップ 2.1.2

分母の各因数に対して、その因数を分母として、未知の値を分子として利用し、新たな分数を作成します。分母の因数は線形なので、その場所 $A$ には1個の変数を置きます。

$\frac{A}{1 + x}$

ステップ 2.1.3

方程式の各分数に元の式の分母を掛けます。この場合、分母は $4 (1 + x)$ です。

$\frac{1 (4 (1 + x))}{4 (1 + x)} = \frac{(A) (4 (1 + x))}{1 + x}$

ステップ 2.1.4

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{1 (4 (1 + x))}{4 (1 + x)} = \frac{(A) (4 (1 + x))}{1 + x}$

ステップ 2.1.4.2

式を書き換えます。

$\frac{1 (1 + x)}{1 + x} = \frac{(A) (4 (1 + x))}{1 + x}$

ステップ 2.1.5

$1 + x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.5.1

共通因数を約分します。

$\frac{1 (1 + x)}{1 + x} = \frac{(A) (4 (1 + x))}{1 + x}$

ステップ 2.1.5.2

式を書き換えます。

$1 = \frac{(A) (4 (1 + x))}{1 + x}$

ステップ 2.1.6

$1 + x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.6.1

共通因数を約分します。

$1 = \frac{A (4 (1 + x))}{1 + x}$

ステップ 2.1.6.2

$(A) \cdot (4)$ を $1$ で割ります。

$1 = (A) \cdot (4)$

ステップ 2.1.7

$4$ を $A$ の左に移動させます。

$1 = 4 A$

ステップ 2.2

連立方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

方程式を $4 A = 1$ として書き換えます。

$4 A = 1$

ステップ 2.2.2

$4 A = 1$ の各項を $4$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1

$4 A = 1$ の各項を $4$ で割ります。

$\frac{4 A}{4} = \frac{1}{4}$

ステップ 2.2.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.2.1

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{4 A}{4} = \frac{1}{4}$

ステップ 2.2.2.2.1.2

$A$ を $1$ で割ります。

$A = \frac{1}{4}$

ステップ 2.3

Replace each of the partial fraction coefficients in $\frac{A}{1 + x}$ with the values found for and $A$ .

$\frac{\frac{1}{4}}{1 + x}$

ステップ 2.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{1 + x}$

ステップ 2.4.2

$\frac{1}{4}$ に $\frac{1}{1 + x}$ をかけます。

$5 \int \frac{1}{4 (1 + x)} d x$

ステップ 3

$\frac{1}{4}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{4}$ を積分の外に移動させます。

$5 (\frac{1}{4} \int \frac{1}{1 + x} d x)$

ステップ 4

$\frac{1}{4}$ と $5$ をまとめます。

$\frac{5}{4} \int \frac{1}{1 + x} d x$

ステップ 5

$u = 1 + x$ とします。次に $d u = d x$ 。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$u = 1 + x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1

$1 + x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [1 + x]$

ステップ 5.1.2

総和則では、 $1 + x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 5.1.3

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 5.1.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 + 1$

ステップ 5.1.5

$0$ と $1$ をたし算します。

$1$

ステップ 5.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\frac{5}{4} \int \frac{1}{u} d u$

ステップ 6

$\frac{1}{u}$ の $u$ に関する積分は $\ln (| u |)$ です。

$\frac{5}{4} (\ln (| u |) + C)$

ステップ 7

簡約します。

$\frac{5}{4} \ln (| u |) + C$

ステップ 8

$u$ のすべての発生を $1 + x$ で置き換えます。

$\frac{5}{4} \ln (| 1 + x |) + C$

微分積分 例

微分積分例