微分積分例

$\int_{1}^{x^{2} + 1} \frac{2 t + 2}{\sqrt{t + 1}} d t$

ステップ 1

$2$ を $2 t + 2$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$2$ を $2 t$ で因数分解します。

$\frac{d}{d x} [\int_{1}^{x^{2} + 1} \frac{2 (t) + 2}{\sqrt{t + 1}} d t]$

ステップ 1.2

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{d}{d x} [\int_{1}^{x^{2} + 1} \frac{2 (t) + 2 (1)}{\sqrt{t + 1}} d t]$

ステップ 1.3

$2$ を $2 (t) + 2 (1)$ で因数分解します。

$\frac{d}{d x} [\int_{1}^{x^{2} + 1} \frac{2 (t + 1)}{\sqrt{t + 1}} d t]$

ステップ 2

$\frac{2 (t + 1)}{\sqrt{t + 1}}$ に $\frac{\sqrt{t + 1}}{\sqrt{t + 1}}$ をかけます。

$\frac{d}{d x} [\int_{1}^{x^{2} + 1} \frac{2 (t + 1)}{\sqrt{t + 1}} \cdot \frac{\sqrt{t + 1}}{\sqrt{t + 1}} d t]$

ステップ 3

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

分母を組み合わせて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

$\frac{2 (t + 1)}{\sqrt{t + 1}}$ に $\frac{\sqrt{t + 1}}{\sqrt{t + 1}}$ をかけます。

$\frac{d}{d x} [\int_{1}^{x^{2} + 1} \frac{2 (t + 1) \sqrt{t + 1}}{\sqrt{t + 1} \sqrt{t + 1}} d t]$

ステップ 3.1.2

$\sqrt{t + 1}$ を $1$ 乗します。

$\frac{d}{d x} [\int_{1}^{x^{2} + 1} \frac{2 (t + 1) \sqrt{t + 1}}{{\sqrt{t + 1}}^{1} \sqrt{t + 1}} d t]$

ステップ 3.1.3

$\sqrt{t + 1}$ を $1$ 乗します。

$\frac{d}{d x} [\int_{1}^{x^{2} + 1} \frac{2 (t + 1) \sqrt{t + 1}}{{\sqrt{t + 1}}^{1} {\sqrt{t + 1}}^{1}} d t]$

ステップ 3.1.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{d}{d x} [\int_{1}^{x^{2} + 1} \frac{2 (t + 1) \sqrt{t + 1}}{{\sqrt{t + 1}}^{1 + 1}} d t]$

ステップ 3.1.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{d}{d x} [\int_{1}^{x^{2} + 1} \frac{2 (t + 1) \sqrt{t + 1}}{{\sqrt{t + 1}}^{2}} d t]$

ステップ 3.1.6

${\sqrt{t + 1}}^{2}$ を $t + 1$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{t + 1}$ を ${(t + 1)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [\int_{1}^{x^{2} + 1} \frac{2 (t + 1) \sqrt{t + 1}}{{({(t + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} d t]$

ステップ 3.1.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{d}{d x} [\int_{1}^{x^{2} + 1} \frac{2 (t + 1) \sqrt{t + 1}}{{(t + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} d t]$

ステップ 3.1.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{d}{d x} [\int_{1}^{x^{2} + 1} \frac{2 (t + 1) \sqrt{t + 1}}{{(t + 1)}^{\frac{2}{2}}} d t]$

ステップ 3.1.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.6.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{d}{d x} [\int_{1}^{x^{2} + 1} \frac{2 (t + 1) \sqrt{t + 1}}{{(t + 1)}^{\frac{2}{2}}} d t]$

ステップ 3.1.6.4.2

式を書き換えます。

$\frac{d}{d x} [\int_{1}^{x^{2} + 1} \frac{2 (t + 1) \sqrt{t + 1}}{{(t + 1)}^{1}} d t]$

ステップ 3.1.6.5

簡約します。

$\frac{d}{d x} [\int_{1}^{x^{2} + 1} \frac{2 (t + 1) \sqrt{t + 1}}{t + 1} d t]$

ステップ 3.2

$t + 1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{d}{d x} [\int_{1}^{x^{2} + 1} \frac{2 (t + 1) \sqrt{t + 1}}{t + 1} d t]$

ステップ 3.2.2

$2 \sqrt{t + 1}$ を $1$ で割ります。

$\frac{d}{d x} [\int_{1}^{x^{2} + 1} 2 \sqrt{t + 1} d t]$

ステップ 4

微積分学の基本定理と連鎖律を利用して、 $x$ に関する $\int_{1}^{x^{2} + 1} 2 \sqrt{t + 1} d t$ の微分係数を取ります。

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1] (2 \sqrt{x^{2} + 1 + 1})$

ステップ 5

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

総和則では、 $x^{2} + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$(\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) (2 \sqrt{x^{2} + 1 + 1})$

ステップ 5.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(2 x + \frac{d}{d x} [1]) (2 \sqrt{x^{2} + 1 + 1})$

ステップ 5.3

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$(2 x + 0) (2 \sqrt{x^{2} + 1 + 1})$

ステップ 5.4

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$2 x (2 \sqrt{x^{2} + 1 + 1})$

ステップ 5.4.2

$1$ と $1$ をたし算します。

$2 x (2 \sqrt{x^{2} + 2})$

ステップ 5.4.3

$2$ に $2$ をかけます。

$4 x \sqrt{x^{2} + 2}$

微分積分 例

微分積分例