微分積分例

$x^{2} y - \frac{x}{y} = - 2$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (x^{2} y - \frac{x}{y}) = \frac{d}{d x} (- 2)$

ステップ 2

方程式の左辺を微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

総和則では、 $x^{2} y - \frac{x}{y}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{y}]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{y}]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [x^{2} y]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x^{2} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{y}]$

ステップ 2.2.2

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$x^{2} y' + y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{y}]$

ステップ 2.2.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{2} y' + y (2 x) + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{y}]$

ステップ 2.2.4

$2$ を $y$ の左に移動させます。

$x^{2} y' + 2 y x + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{y}]$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [- \frac{x}{y}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$f (x) = - 1$ および $g (x) = \frac{x}{y}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x^{2} y' + 2 y x - \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}] + \frac{x}{y} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 2.3.2

$f (x) = x$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$x^{2} y' + 2 y x - \frac{y \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}} + \frac{x}{y} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 2.3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{2} y' + 2 y x - \frac{y \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}} + \frac{x}{y} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 2.3.4

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$x^{2} y' + 2 y x - \frac{y \cdot 1 - x y'}{y^{2}} + \frac{x}{y} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 2.3.5

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$x^{2} y' + 2 y x - \frac{y \cdot 1 - x y'}{y^{2}} + \frac{x}{y} \cdot 0$

ステップ 2.3.6

$y$ に $1$ をかけます。

$x^{2} y' + 2 y x - \frac{y - x y'}{y^{2}} + \frac{x}{y} \cdot 0$

ステップ 2.3.7

$\frac{x}{y}$ に $0$ をかけます。

$x^{2} y' + 2 y x - \frac{y - x y'}{y^{2}} + 0$

ステップ 2.3.8

$- \frac{y - x y'}{y^{2}}$ と $0$ をたし算します。

$x^{2} y' + 2 y x - \frac{y - x y'}{y^{2}}$

ステップ 2.4

簡約します。

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ステップ 2.4.1

項をまとめます。

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ステップ 2.4.1.1

$x^{2} y'$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{y^{2}}{y^{2}}$ を掛けます。

$2 y x + \frac{x^{2} y' y^{2}}{y^{2}} - \frac{y - x y'}{y^{2}}$

ステップ 2.4.1.2

公分母の分子をまとめます。

$2 y x + \frac{x^{2} y' y^{2} - (y - x y')}{y^{2}}$

ステップ 2.4.2

項を並べ替えます。

$2 x y + \frac{x^{2} y' y^{2} - (y - x y')}{y^{2}}$

ステップ 3

$- 2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 2$ の微分係数は $0$ です。

$0$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$2 x y + \frac{x^{2} y' y^{2} - (y - x y')}{y^{2}} = 0$

ステップ 5

$y'$ について解きます。

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ステップ 5.1

$2 x y + \frac{x^{2} y' y^{2} - (y - x y')}{y^{2}}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1

分子を簡約します。

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ステップ 5.1.1.1

分配則を当てはめます。

$2 x y + \frac{x^{2} y' y^{2} - y - (- x y')}{y^{2}} = 0$

ステップ 5.1.1.2

$- (- x y')$ を掛けます。

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ステップ 5.1.1.2.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$2 x y + \frac{x^{2} y' y^{2} - y + 1 (x y')}{y^{2}} = 0$

ステップ 5.1.1.2.2

$x$ に $1$ をかけます。

$2 x y + \frac{x^{2} y' y^{2} - y + x y'}{y^{2}} = 0$

ステップ 5.1.2

$2 x y$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{y^{2}}{y^{2}}$ を掛けます。

$\frac{2 x y \cdot y^{2}}{y^{2}} + \frac{x^{2} y' y^{2} - y + x y'}{y^{2}} = 0$

ステップ 5.1.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{2 x y \cdot y^{2} + x^{2} y' y^{2} - y + x y'}{y^{2}} = 0$

ステップ 5.1.4

指数を足して $y$ に $y^{2}$ を掛けます。

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ステップ 5.1.4.1

$y^{2}$ を移動させます。

$\frac{2 x (y^{2} y) + x^{2} y' y^{2} - y + x y'}{y^{2}} = 0$

ステップ 5.1.4.2

$y^{2}$ に $y$ をかけます。

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ステップ 5.1.4.2.1

$y$ を $1$ 乗します。

$\frac{2 x (y^{2} y^{1}) + x^{2} y' y^{2} - y + x y'}{y^{2}} = 0$

ステップ 5.1.4.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{2 x y^{2 + 1} + x^{2} y' y^{2} - y + x y'}{y^{2}} = 0$

ステップ 5.1.4.3

$2$ と $1$ をたし算します。

$\frac{2 x y^{3} + x^{2} y' y^{2} - y + x y'}{y^{2}} = 0$

ステップ 5.2

分子を0に等しくします。

$2 x y^{3} + x^{2} y' y^{2} - y + x y' = 0$

ステップ 5.3

$y'$ について方程式を解きます。

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ステップ 5.3.1

$y'$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 5.3.1.1

方程式の両辺から $2 x y^{3}$ を引きます。

$x^{2} y' y^{2} - y + x y' = - 2 x y^{3}$

ステップ 5.3.1.2

方程式の両辺に $y$ を足します。

$x^{2} y' y^{2} + x y' = - 2 x y^{3} + y$

ステップ 5.3.2

$x y'$ を $x^{2} y' y^{2} + x y'$ で因数分解します。

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ステップ 5.3.2.1

$x y'$ を $x^{2} y' y^{2}$ で因数分解します。

$x y' (x y^{2}) + x y' = - 2 x y^{3} + y$

ステップ 5.3.2.2

$x y'$ を $x y'$ で因数分解します。

$x y' (x y^{2}) + x y' \cdot 1 = - 2 x y^{3} + y$

ステップ 5.3.2.3

$x y'$ を $x y' (x y^{2}) + x y' \cdot 1$ で因数分解します。

$x y' (x y^{2} + 1) = - 2 x y^{3} + y$

ステップ 5.3.3

$x y' (x y^{2} + 1) = - 2 x y^{3} + y$ の各項を $x (x y^{2} + 1)$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.3.3.1

$x y' (x y^{2} + 1) = - 2 x y^{3} + y$ の各項を $x (x y^{2} + 1)$ で割ります。

$\frac{x y' (x y^{2} + 1)}{x (x y^{2} + 1)} = \frac{- 2 x y^{3}}{x (x y^{2} + 1)} + \frac{y}{x (x y^{2} + 1)}$

ステップ 5.3.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.2.1

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{x y' (x y^{2} + 1)}{x (x y^{2} + 1)} = \frac{- 2 x y^{3}}{x (x y^{2} + 1)} + \frac{y}{x (x y^{2} + 1)}$

ステップ 5.3.3.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{y' (x y^{2} + 1)}{x y^{2} + 1} = \frac{- 2 x y^{3}}{x (x y^{2} + 1)} + \frac{y}{x (x y^{2} + 1)}$

ステップ 5.3.3.2.2

$x y^{2} + 1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{y' (x y^{2} + 1)}{x y^{2} + 1} = \frac{- 2 x y^{3}}{x (x y^{2} + 1)} + \frac{y}{x (x y^{2} + 1)}$

ステップ 5.3.3.2.2.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{- 2 x y^{3}}{x (x y^{2} + 1)} + \frac{y}{x (x y^{2} + 1)}$

ステップ 5.3.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.3.1.1

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.3.1.1.1

共通因数を約分します。

$y' = \frac{- 2 x y^{3}}{x (x y^{2} + 1)} + \frac{y}{x (x y^{2} + 1)}$

ステップ 5.3.3.3.1.1.2

式を書き換えます。

$y' = \frac{- 2 y^{3}}{x y^{2} + 1} + \frac{y}{x (x y^{2} + 1)}$

ステップ 5.3.3.3.1.2

分数の前に負数を移動させます。

$y' = - \frac{2 y^{3}}{x y^{2} + 1} + \frac{y}{x (x y^{2} + 1)}$

ステップ 5.3.3.3.2

$- \frac{2 y^{3}}{x y^{2} + 1}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x}{x}$ を掛けます。

$y' = - \frac{2 y^{3}}{x y^{2} + 1} \cdot \frac{x}{x} + \frac{y}{x (x y^{2} + 1)}$

ステップ 5.3.3.3.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $(x y^{2} + 1) x$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 5.3.3.3.3.1

$\frac{2 y^{3}}{x y^{2} + 1}$ に $\frac{x}{x}$ をかけます。

$y' = - \frac{2 y^{3} x}{(x y^{2} + 1) x} + \frac{y}{x (x y^{2} + 1)}$

ステップ 5.3.3.3.3.2

$(x y^{2} + 1) x$ の因数を並べ替えます。

$y' = - \frac{2 y^{3} x}{x (x y^{2} + 1)} + \frac{y}{x (x y^{2} + 1)}$

ステップ 5.3.3.3.4

公分母の分子をまとめます。

$y' = \frac{- 2 y^{3} x + y}{x (x y^{2} + 1)}$

ステップ 5.3.3.3.5

$y$ を $- 2 y^{3} x + y$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.3.5.1

$y$ を $- 2 y^{3} x$ で因数分解します。

$y' = \frac{y (- 2 y^{2} x) + y}{x (x y^{2} + 1)}$

ステップ 5.3.3.3.5.2

$y$ を $1$ 乗します。

$y' = \frac{y (- 2 y^{2} x) + y^{1}}{x (x y^{2} + 1)}$

ステップ 5.3.3.3.5.3

$y$ を $y^{1}$ で因数分解します。

$y' = \frac{y (- 2 y^{2} x) + y \cdot 1}{x (x y^{2} + 1)}$

ステップ 5.3.3.3.5.4

$y$ を $y (- 2 y^{2} x) + y \cdot 1$ で因数分解します。

$y' = \frac{y (- 2 y^{2} x + 1)}{x (x y^{2} + 1)}$

ステップ 5.3.3.3.6

$- 1$ を $- 2 y^{2} x$ で因数分解します。

$y' = \frac{y (- (2 y^{2} x) + 1)}{x (x y^{2} + 1)}$

ステップ 5.3.3.3.7

$1$ を $- 1 (- 1)$ に書き換えます。

$y' = \frac{y (- (2 y^{2} x) - 1 (- 1))}{x (x y^{2} + 1)}$

ステップ 5.3.3.3.8

$- 1$ を $- (2 y^{2} x) - 1 (- 1)$ で因数分解します。

$y' = \frac{y (- (2 y^{2} x - 1))}{x (x y^{2} + 1)}$

ステップ 5.3.3.3.9

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.3.9.1

$- (2 y^{2} x - 1)$ を $- 1 (2 y^{2} x - 1)$ に書き換えます。

$y' = \frac{y (- 1 (2 y^{2} x - 1))}{x (x y^{2} + 1)}$

ステップ 5.3.3.3.9.2

分数の前に負数を移動させます。

$y' = - \frac{y (2 y^{2} x - 1)}{x (x y^{2} + 1)}$

ステップ 6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y (2 y^{2} x - 1)}{x (x y^{2} + 1)}$

微分積分 例

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