微分積分例

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{x + 1}$

ステップ 1

ロピタルの定理を当てはめます。

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ステップ 1.1

分子と分母の極限値を求めます。

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ステップ 1.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to \infty} e^{x}}{lim_{x \to \infty} x + 1}$

ステップ 1.1.2

指数 $x$ が $\infty$ に近づくので、数 $e^{x}$ が $\infty$ に近づきます。

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x + 1}$

ステップ 1.1.3

首位係数が正である多項式の無限大における極限は無限大です。

$\frac{\infty}{\infty}$

ステップ 1.1.4

無限大割る無限大は未定義です。

未定義

$\frac{\infty}{\infty}$

ステップ 1.2

$\frac{\infty}{\infty}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{x + 1} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x}]}{\frac{d}{d x} [x + 1]}$

ステップ 1.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 1.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x}]}{\frac{d}{d x} [x + 1]}$

ステップ 1.3.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{\frac{d}{d x} [x + 1]}$

ステップ 1.3.3

総和則では、 $x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]}$

ステップ 1.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{1 + \frac{d}{d x} [1]}$

ステップ 1.3.5

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{1 + 0}$

ステップ 1.3.6

$1$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{1}$

ステップ 1.4

$e^{x}$ を $1$ で割ります。

$lim_{x \to \infty} e^{x}$

ステップ 2

指数 $x$ が $\infty$ に近づくので、数 $e^{x}$ が $\infty$ に近づきます。

$\infty$

微分積分 例

微分積分例