微分積分例

$\int (5^{5 x + 1} - 15 x^{4}) d x$

ステップ 1

括弧を削除します。

$\int 5^{5 x + 1} - 15 x^{4} d x$

ステップ 2

単一積分を複数積分に分割します。

$\int 5^{5 x + 1} d x + \int - 15 x^{4} d x$

ステップ 3

$u = 5 x + 1$ とします。次に $d u = 5 d x$ すると、 $\frac{1}{5} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 3.1

$u = 5 x + 1$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 3.1.1

$5 x + 1$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [5 x + 1]$

ステップ 3.1.2

総和則では、 $5 x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 3.1.3

$\frac{d}{d x} [5 x]$ の値を求めます。

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ステップ 3.1.3.1

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 x$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 3.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 3.1.3.3

$5$ に $1$ をかけます。

$5 + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 3.1.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 3.1.4.1

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$5 + 0$

ステップ 3.1.4.2

$5$ と $0$ をたし算します。

$5$

ステップ 3.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int 5^{u} \cdot \frac{1}{5} d u + \int - 15 x^{4} d x$

ステップ 4

$5^{u}$ と $\frac{1}{5}$ をまとめます。

$\int \frac{5^{u}}{5} d u + \int - 15 x^{4} d x$

ステップ 5

$\frac{1}{5}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{5}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{5} \int 5^{u} d u + \int - 15 x^{4} d x$

ステップ 6

$5^{u}$ の $u$ に関する積分は $\frac{5^{u}}{\ln (5)}$ です。

$\frac{1}{5} (\frac{5^{u}}{\ln (5)} + C) + \int - 15 x^{4} d x$

ステップ 7

$- 15$ は $x$ に対して定数なので、 $- 15$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{5} (\frac{5^{u}}{\ln (5)} + C) - 15 \int x^{4} d x$

ステップ 8

べき乗則では、 $x^{4}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{5} x^{5}$ です。

$\frac{1}{5} (\frac{5^{u}}{\ln (5)} + C) - 15 (\frac{1}{5} x^{5} + C)$

ステップ 9

簡約します。

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ステップ 9.1

$\frac{1}{5}$ と $x^{5}$ をまとめます。

$\frac{1}{5} (\frac{5^{u}}{\ln (5)} + C) - 15 (\frac{x^{5}}{5} + C)$

ステップ 9.2

簡約します。

$\frac{1 \cdot 5^{u}}{5 \ln (5)} - 15 \frac{x^{5}}{5} + C$

ステップ 9.3

簡約します。

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ステップ 9.3.1

$5^{u}$ に $1$ をかけます。

$\frac{5^{u}}{5 \ln (5)} - 15 \frac{x^{5}}{5} + C$

ステップ 9.3.2

$5^{u}$ と $5$ の共通因数を約分します。

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ステップ 9.3.2.1

$5$ を $5^{u}$ で因数分解します。

$\frac{5 \cdot 5^{u - 1}}{5 \ln (5)} - 15 \frac{x^{5}}{5} + C$

ステップ 9.3.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 9.3.2.2.1

$5$ を $5 \ln (5)$ で因数分解します。

$\frac{5 \cdot 5^{u - 1}}{5 (\ln (5))} - 15 \frac{x^{5}}{5} + C$

ステップ 9.3.2.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{5 \cdot 5^{u - 1}}{5 \ln (5)} - 15 \frac{x^{5}}{5} + C$

ステップ 9.3.2.2.3

式を書き換えます。

$\frac{5^{u - 1}}{\ln (5)} - 15 \frac{x^{5}}{5} + C$

ステップ 9.3.3

$- 15$ と $\frac{x^{5}}{5}$ をまとめます。

$\frac{5^{u - 1}}{\ln (5)} + \frac{- 15 x^{5}}{5} + C$

ステップ 9.3.4

$- 15$ と $5$ の共通因数を約分します。

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ステップ 9.3.4.1

$5$ を $- 15 x^{5}$ で因数分解します。

$\frac{5^{u - 1}}{\ln (5)} + \frac{5 (- 3 x^{5})}{5} + C$

ステップ 9.3.4.2

共通因数を約分します。

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ステップ 9.3.4.2.1

$5$ を $5$ で因数分解します。

$\frac{5^{u - 1}}{\ln (5)} + \frac{5 (- 3 x^{5})}{5 (1)} + C$

ステップ 9.3.4.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{5^{u - 1}}{\ln (5)} + \frac{5 (- 3 x^{5})}{5 \cdot 1} + C$

ステップ 9.3.4.2.3

式を書き換えます。

$\frac{5^{u - 1}}{\ln (5)} + \frac{- 3 x^{5}}{1} + C$

ステップ 9.3.4.2.4

$- 3 x^{5}$ を $1$ で割ります。

$\frac{5^{u - 1}}{\ln (5)} - 3 x^{5} + C$

ステップ 9.3.5

$- 3 x^{5}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{\ln (5)}{\ln (5)}$ を掛けます。

$\frac{5^{u - 1}}{\ln (5)} - 3 x^{5} \cdot \frac{\ln (5)}{\ln (5)} + C$

ステップ 9.3.6

$- 3 x^{5}$ と $\frac{\ln (5)}{\ln (5)}$ をまとめます。

$\frac{5^{u - 1}}{\ln (5)} + \frac{- 3 x^{5} \ln (5)}{\ln (5)} + C$

ステップ 9.3.7

公分母の分子をまとめます。

$\frac{5^{u - 1} - 3 x^{5} \ln (5)}{\ln (5)} + C$

ステップ 10

$u$ のすべての発生を $5 x + 1$ で置き換えます。

$\frac{5^{5 x + 1 - 1} - 3 x^{5} \ln (5)}{\ln (5)} + C$

ステップ 11

項を並べ替えます。

$\frac{1}{\ln (5)} (5^{5 x + 1 - 1} - 3 x^{5} \ln (5)) + C$

微分積分 例

微分積分例