微分積分例

$\frac{d y}{d t} = (1 + 4 t) \sqrt{y}$

ステップ 1

変数を分けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

両辺に $\frac{1}{\sqrt{y}}$ を掛けます。

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{\sqrt{y}} ((1 + 4 t) \sqrt{y})$

ステップ 1.2

$\sqrt{y}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.1

$\sqrt{y}$ を $(1 + 4 t) \sqrt{y}$ で因数分解します。

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{\sqrt{y}} (\sqrt{y} (1 + 4 t))$

ステップ 1.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{\sqrt{y}} (\sqrt{y} (1 + 4 t))$

ステップ 1.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d t} = 1 + 4 t$

ステップ 1.3

方程式を書き換えます。

$\frac{1}{\sqrt{y}} d y = (1 + 4 t) d t$

ステップ 2

両辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{1}{\sqrt{y}} d y = \int 1 + 4 t d t$

ステップ 2.2

左辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 2.2.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{y}$ を $y^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\int \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} d y = \int 1 + 4 t d t$

ステップ 2.2.1.2

$y^{\frac{1}{2}}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\int {(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d y = \int 1 + 4 t d t$

ステップ 2.2.1.3

${(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\int y^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d y = \int 1 + 4 t d t$

ステップ 2.2.1.3.2

$\frac{1}{2}$ と $- 1$ をまとめます。

$\int y^{\frac{- 1}{2}} d y = \int 1 + 4 t d t$

ステップ 2.2.1.3.3

分数の前に負数を移動させます。

$\int y^{- \frac{1}{2}} d y = \int 1 + 4 t d t$

ステップ 2.2.2

べき乗則では、 $y^{- \frac{1}{2}}$ の $y$ に関する積分は $2 y^{\frac{1}{2}}$ です。

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int 1 + 4 t d t$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

単一積分を複数積分に分割します。

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int d t + \int 4 t d t$

ステップ 2.3.2

定数の法則を当てはめます。

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = t + C_{2} + \int 4 t d t$

ステップ 2.3.3

$4$ は $t$ に対して定数なので、 $4$ を積分の外に移動させます。

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = t + C_{2} + 4 \int t d t$

ステップ 2.3.4

べき乗則では、 $t$ の $t$ に関する積分は $\frac{1}{2} t^{2}$ です。

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = t + C_{2} + 4 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{3})$

ステップ 2.3.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.5.1

簡約します。

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = t + 4 (\frac{1}{2}) t^{2} + C_{4}$

ステップ 2.3.5.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.5.2.1

$4$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = t + \frac{4}{2} t^{2} + C_{4}$

ステップ 2.3.5.2.2

$4$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.5.2.2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = t + \frac{2 \cdot 2}{2} t^{2} + C_{4}$

ステップ 2.3.5.2.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.5.2.2.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = t + \frac{2 \cdot 2}{2 (1)} t^{2} + C_{4}$

ステップ 2.3.5.2.2.2.2

共通因数を約分します。

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = t + \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} t^{2} + C_{4}$

ステップ 2.3.5.2.2.2.3

式を書き換えます。

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = t + \frac{2}{1} t^{2} + C_{4}$

ステップ 2.3.5.2.2.2.4

$2$ を $1$ で割ります。

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = t + 2 t^{2} + C_{4}$

ステップ 2.3.6

項を並べ替えます。

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 2 t^{2} + t + C_{4}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$2 y^{\frac{1}{2}} = 2 t^{2} + t + K$

ステップ 3

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$2 y^{\frac{1}{2}} = 2 t^{2} + t + K$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.1.1

$2 y^{\frac{1}{2}} = 2 t^{2} + t + K$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 y^{\frac{1}{2}}}{2} = \frac{2 t^{2}}{2} + \frac{t}{2} + \frac{K}{2}$

ステップ 3.1.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 y^{\frac{1}{2}}}{2} = \frac{2 t^{2}}{2} + \frac{t}{2} + \frac{K}{2}$

ステップ 3.1.2.2

$y^{\frac{1}{2}}$ を $1$ で割ります。

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{2 t^{2}}{2} + \frac{t}{2} + \frac{K}{2}$

ステップ 3.1.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.3.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.3.1.1

共通因数を約分します。

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{2 t^{2}}{2} + \frac{t}{2} + \frac{K}{2}$

ステップ 3.1.3.1.2

$t^{2}$ を $1$ で割ります。

$y^{\frac{1}{2}} = t^{2} + \frac{t}{2} + \frac{K}{2}$

ステップ 3.2

方程式の両辺を $2$ 乗し、左辺の分数指数を消去します。

${(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(t^{2} + \frac{t}{2} + \frac{K}{2})}^{2}$

ステップ 3.3

指数を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1.1

${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1.1.1

${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(t^{2} + \frac{t}{2} + \frac{K}{2})}^{2}$

ステップ 3.3.1.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1.1.1.2.1

共通因数を約分します。

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(t^{2} + \frac{t}{2} + \frac{K}{2})}^{2}$

ステップ 3.3.1.1.1.2.2

式を書き換えます。

$y^{1} = {(t^{2} + \frac{t}{2} + \frac{K}{2})}^{2}$

ステップ 3.3.1.1.2

簡約します。

$y = {(t^{2} + \frac{t}{2} + \frac{K}{2})}^{2}$

ステップ 3.3.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1

${(t^{2} + \frac{t}{2} + \frac{K}{2})}^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.1

${(t^{2} + \frac{t}{2} + \frac{K}{2})}^{2}$ を $(t^{2} + \frac{t}{2} + \frac{K}{2}) (t^{2} + \frac{t}{2} + \frac{K}{2})$ に書き換えます。

$y = (t^{2} + \frac{t}{2} + \frac{K}{2}) (t^{2} + \frac{t}{2} + \frac{K}{2})$

ステップ 3.3.2.1.2

1番目の式の各項に2番目の式の各項を掛け、 $(t^{2} + \frac{t}{2} + \frac{K}{2}) (t^{2} + \frac{t}{2} + \frac{K}{2})$ を展開します。

$y = t^{2} t^{2} + t^{2} \frac{t}{2} + t^{2} \frac{K}{2} + \frac{t}{2} t^{2} + \frac{t}{2} \cdot \frac{t}{2} + \frac{t}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} t^{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{t}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

ステップ 3.3.2.1.3

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.3.1.1

指数を足して $t^{2}$ に $t^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.3.1.1.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$y = t^{2 + 2} + t^{2} \frac{t}{2} + t^{2} \frac{K}{2} + \frac{t}{2} t^{2} + \frac{t}{2} \cdot \frac{t}{2} + \frac{t}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} t^{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{t}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

ステップ 3.3.2.1.3.1.1.2

$2$ と $2$ をたし算します。

$y = t^{4} + t^{2} \frac{t}{2} + t^{2} \frac{K}{2} + \frac{t}{2} t^{2} + \frac{t}{2} \cdot \frac{t}{2} + \frac{t}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} t^{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{t}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

ステップ 3.3.2.1.3.1.2

$t^{2} \frac{t}{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.3.1.2.1

$t^{2}$ と $\frac{t}{2}$ をまとめます。

$y = t^{4} + \frac{t^{2} t}{2} + t^{2} \frac{K}{2} + \frac{t}{2} t^{2} + \frac{t}{2} \cdot \frac{t}{2} + \frac{t}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} t^{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{t}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

ステップ 3.3.2.1.3.1.2.2

指数を足して $t^{2}$ に $t$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.3.1.2.2.1

$t^{2}$ に $t$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.3.1.2.2.1.1

$t$ を $1$ 乗します。

$y = t^{4} + \frac{t^{2} t^{1}}{2} + t^{2} \frac{K}{2} + \frac{t}{2} t^{2} + \frac{t}{2} \cdot \frac{t}{2} + \frac{t}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} t^{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{t}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

ステップ 3.3.2.1.3.1.2.2.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$y = t^{4} + \frac{t^{2 + 1}}{2} + t^{2} \frac{K}{2} + \frac{t}{2} t^{2} + \frac{t}{2} \cdot \frac{t}{2} + \frac{t}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} t^{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{t}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

ステップ 3.3.2.1.3.1.2.2.2

$2$ と $1$ をたし算します。

$y = t^{4} + \frac{t^{3}}{2} + t^{2} \frac{K}{2} + \frac{t}{2} t^{2} + \frac{t}{2} \cdot \frac{t}{2} + \frac{t}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} t^{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{t}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

ステップ 3.3.2.1.3.1.3

$t^{2}$ と $\frac{K}{2}$ をまとめます。

$y = t^{4} + \frac{t^{3}}{2} + \frac{t^{2} K}{2} + \frac{t}{2} t^{2} + \frac{t}{2} \cdot \frac{t}{2} + \frac{t}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} t^{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{t}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

ステップ 3.3.2.1.3.1.4

$\frac{t}{2} t^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.3.1.4.1

$\frac{t}{2}$ と $t^{2}$ をまとめます。

$y = t^{4} + \frac{t^{3}}{2} + \frac{t^{2} K}{2} + \frac{t \cdot t^{2}}{2} + \frac{t}{2} \cdot \frac{t}{2} + \frac{t}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} t^{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{t}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

ステップ 3.3.2.1.3.1.4.2

指数を足して $t$ に $t^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.3.1.4.2.1

$t$ に $t^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.3.1.4.2.1.1

$t$ を $1$ 乗します。

$y = t^{4} + \frac{t^{3}}{2} + \frac{t^{2} K}{2} + \frac{t^{1} t^{2}}{2} + \frac{t}{2} \cdot \frac{t}{2} + \frac{t}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} t^{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{t}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

ステップ 3.3.2.1.3.1.4.2.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$y = t^{4} + \frac{t^{3}}{2} + \frac{t^{2} K}{2} + \frac{t^{1 + 2}}{2} + \frac{t}{2} \cdot \frac{t}{2} + \frac{t}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} t^{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{t}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

ステップ 3.3.2.1.3.1.4.2.2

$1$ と $2$ をたし算します。

$y = t^{4} + \frac{t^{3}}{2} + \frac{t^{2} K}{2} + \frac{t^{3}}{2} + \frac{t}{2} \cdot \frac{t}{2} + \frac{t}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} t^{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{t}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

ステップ 3.3.2.1.3.1.5

$\frac{t}{2} \cdot \frac{t}{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.3.1.5.1

$\frac{t}{2}$ に $\frac{t}{2}$ をかけます。

$y = t^{4} + \frac{t^{3}}{2} + \frac{t^{2} K}{2} + \frac{t^{3}}{2} + \frac{t \cdot t}{2 \cdot 2} + \frac{t}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} t^{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{t}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

ステップ 3.3.2.1.3.1.5.2

$t$ を $1$ 乗します。

$y = t^{4} + \frac{t^{3}}{2} + \frac{t^{2} K}{2} + \frac{t^{3}}{2} + \frac{t^{1} t}{2 \cdot 2} + \frac{t}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} t^{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{t}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

ステップ 3.3.2.1.3.1.5.3

$t$ を $1$ 乗します。

$y = t^{4} + \frac{t^{3}}{2} + \frac{t^{2} K}{2} + \frac{t^{3}}{2} + \frac{t^{1} t^{1}}{2 \cdot 2} + \frac{t}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} t^{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{t}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

ステップ 3.3.2.1.3.1.5.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$y = t^{4} + \frac{t^{3}}{2} + \frac{t^{2} K}{2} + \frac{t^{3}}{2} + \frac{t^{1 + 1}}{2 \cdot 2} + \frac{t}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} t^{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{t}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

ステップ 3.3.2.1.3.1.5.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$y = t^{4} + \frac{t^{3}}{2} + \frac{t^{2} K}{2} + \frac{t^{3}}{2} + \frac{t^{2}}{2 \cdot 2} + \frac{t}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} t^{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{t}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

ステップ 3.3.2.1.3.1.5.6

$2$ に $2$ をかけます。

$y = t^{4} + \frac{t^{3}}{2} + \frac{t^{2} K}{2} + \frac{t^{3}}{2} + \frac{t^{2}}{4} + \frac{t}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} t^{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{t}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

ステップ 3.3.2.1.3.1.6

$\frac{t}{2} \cdot \frac{K}{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.3.1.6.1

$\frac{t}{2}$ に $\frac{K}{2}$ をかけます。

$y = t^{4} + \frac{t^{3}}{2} + \frac{t^{2} K}{2} + \frac{t^{3}}{2} + \frac{t^{2}}{4} + \frac{t K}{2 \cdot 2} + \frac{K}{2} t^{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{t}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

ステップ 3.3.2.1.3.1.6.2

$2$ に $2$ をかけます。

$y = t^{4} + \frac{t^{3}}{2} + \frac{t^{2} K}{2} + \frac{t^{3}}{2} + \frac{t^{2}}{4} + \frac{t K}{4} + \frac{K}{2} t^{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{t}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

ステップ 3.3.2.1.3.1.7

$\frac{K}{2}$ と $t^{2}$ をまとめます。

$y = t^{4} + \frac{t^{3}}{2} + \frac{t^{2} K}{2} + \frac{t^{3}}{2} + \frac{t^{2}}{4} + \frac{t K}{4} + \frac{K t^{2}}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{t}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

ステップ 3.3.2.1.3.1.8

$\frac{K}{2} \cdot \frac{t}{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.3.1.8.1

$\frac{K}{2}$ に $\frac{t}{2}$ をかけます。

$y = t^{4} + \frac{t^{3}}{2} + \frac{t^{2} K}{2} + \frac{t^{3}}{2} + \frac{t^{2}}{4} + \frac{t K}{4} + \frac{K t^{2}}{2} + \frac{K t}{2 \cdot 2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

ステップ 3.3.2.1.3.1.8.2

$2$ に $2$ をかけます。

$y = t^{4} + \frac{t^{3}}{2} + \frac{t^{2} K}{2} + \frac{t^{3}}{2} + \frac{t^{2}}{4} + \frac{t K}{4} + \frac{K t^{2}}{2} + \frac{K t}{4} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

ステップ 3.3.2.1.3.1.9

$\frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.3.1.9.1

$\frac{K}{2}$ に $\frac{K}{2}$ をかけます。

$y = t^{4} + \frac{t^{3}}{2} + \frac{t^{2} K}{2} + \frac{t^{3}}{2} + \frac{t^{2}}{4} + \frac{t K}{4} + \frac{K t^{2}}{2} + \frac{K t}{4} + \frac{K \cdot K}{2 \cdot 2}$

ステップ 3.3.2.1.3.1.9.2

$K$ を $1$ 乗します。

$y = t^{4} + \frac{t^{3}}{2} + \frac{t^{2} K}{2} + \frac{t^{3}}{2} + \frac{t^{2}}{4} + \frac{t K}{4} + \frac{K t^{2}}{2} + \frac{K t}{4} + \frac{K^{1} K}{2 \cdot 2}$

ステップ 3.3.2.1.3.1.9.3

$K$ を $1$ 乗します。

$y = t^{4} + \frac{t^{3}}{2} + \frac{t^{2} K}{2} + \frac{t^{3}}{2} + \frac{t^{2}}{4} + \frac{t K}{4} + \frac{K t^{2}}{2} + \frac{K t}{4} + \frac{K^{1} K^{1}}{2 \cdot 2}$

ステップ 3.3.2.1.3.1.9.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$y = t^{4} + \frac{t^{3}}{2} + \frac{t^{2} K}{2} + \frac{t^{3}}{2} + \frac{t^{2}}{4} + \frac{t K}{4} + \frac{K t^{2}}{2} + \frac{K t}{4} + \frac{K^{1 + 1}}{2 \cdot 2}$

ステップ 3.3.2.1.3.1.9.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$y = t^{4} + \frac{t^{3}}{2} + \frac{t^{2} K}{2} + \frac{t^{3}}{2} + \frac{t^{2}}{4} + \frac{t K}{4} + \frac{K t^{2}}{2} + \frac{K t}{4} + \frac{K^{2}}{2 \cdot 2}$

ステップ 3.3.2.1.3.1.9.6

$2$ に $2$ をかけます。

$y = t^{4} + \frac{t^{3}}{2} + \frac{t^{2} K}{2} + \frac{t^{3}}{2} + \frac{t^{2}}{4} + \frac{t K}{4} + \frac{K t^{2}}{2} + \frac{K t}{4} + \frac{K^{2}}{4}$

ステップ 3.3.2.1.3.2

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.3.2.1

公分母の分子をまとめます。

$y = t^{4} + \frac{t^{3} + t^{2} K + t^{3} + K t^{2}}{2} + \frac{t^{2} + t K + K t + K^{2}}{4}$

ステップ 3.3.2.1.3.2.2

$t^{3}$ と $t^{3}$ をたし算します。

$y = t^{4} + \frac{2 t^{3} + t^{2} K + K t^{2}}{2} + \frac{t^{2} + t K + K t + K^{2}}{4}$

ステップ 3.3.2.1.4

$t^{2} K$ と $K t^{2}$ をたし算します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.4.1

$t^{2}$ と $K$ を並べ替えます。

$y = t^{4} + \frac{2 t^{3} + K t^{2} + K t^{2}}{2} + \frac{t^{2} + t K + K t + K^{2}}{4}$

ステップ 3.3.2.1.4.2

$K t^{2}$ と $K t^{2}$ をたし算します。

$y = t^{4} + \frac{2 t^{3} + 2 K t^{2}}{2} + \frac{t^{2} + t K + K t + K^{2}}{4}$

ステップ 3.3.2.1.5

$t K$ と $K t$ をたし算します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.5.1

$t$ と $K$ を並べ替えます。

$y = t^{4} + \frac{2 t^{3} + 2 K t^{2}}{2} + \frac{t^{2} + K t + K t + K^{2}}{4}$

ステップ 3.3.2.1.5.2

$K t$ と $K t$ をたし算します。

$y = t^{4} + \frac{2 t^{3} + 2 K t^{2}}{2} + \frac{t^{2} + 2 K t + K^{2}}{4}$

ステップ 3.3.2.1.6

各項を簡約します。

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ステップ 3.3.2.1.6.1

$2 t^{2}$ を $2 t^{3} + 2 K t^{2}$ で因数分解します。

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ステップ 3.3.2.1.6.1.1

$2 t^{2}$ を $2 t^{3}$ で因数分解します。

$y = t^{4} + \frac{2 t^{2} (t) + 2 K t^{2}}{2} + \frac{t^{2} + 2 K t + K^{2}}{4}$

ステップ 3.3.2.1.6.1.2

$2 t^{2}$ を $2 K t^{2}$ で因数分解します。

$y = t^{4} + \frac{2 t^{2} (t) + 2 t^{2} K}{2} + \frac{t^{2} + 2 K t + K^{2}}{4}$

ステップ 3.3.2.1.6.1.3

$2 t^{2}$ を $2 t^{2} (t) + 2 t^{2} K$ で因数分解します。

$y = t^{4} + \frac{2 t^{2} (t + K)}{2} + \frac{t^{2} + 2 K t + K^{2}}{4}$

ステップ 3.3.2.1.6.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.2.1.6.2.1

共通因数を約分します。

$y = t^{4} + \frac{2 t^{2} (t + K)}{2} + \frac{t^{2} + 2 K t + K^{2}}{4}$

ステップ 3.3.2.1.6.2.2

$t^{2} (t + K)$ を $1$ で割ります。

$y = t^{4} + t^{2} (t + K) + \frac{t^{2} + 2 K t + K^{2}}{4}$

ステップ 3.3.2.1.6.3

分配則を当てはめます。

$y = t^{4} + t^{2} t + t^{2} K + \frac{t^{2} + 2 K t + K^{2}}{4}$

ステップ 3.3.2.1.6.4

指数を足して $t^{2}$ に $t$ を掛けます。

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ステップ 3.3.2.1.6.4.1

$t^{2}$ に $t$ をかけます。

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ステップ 3.3.2.1.6.4.1.1

$t$ を $1$ 乗します。

$y = t^{4} + t^{2} t^{1} + t^{2} K + \frac{t^{2} + 2 K t + K^{2}}{4}$

ステップ 3.3.2.1.6.4.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$y = t^{4} + t^{2 + 1} + t^{2} K + \frac{t^{2} + 2 K t + K^{2}}{4}$

ステップ 3.3.2.1.6.4.2

$2$ と $1$ をたし算します。

$y = t^{4} + t^{3} + t^{2} K + \frac{t^{2} + 2 K t + K^{2}}{4}$

ステップ 3.3.2.1.6.5

完全平方式を利用して因数分解します。

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ステップ 3.3.2.1.6.5.1

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$2 K t = 2 \cdot t \cdot K$

ステップ 3.3.2.1.6.5.2

多項式を書き換えます。

$y = t^{4} + t^{3} + t^{2} K + \frac{t^{2} + 2 \cdot t \cdot K + K^{2}}{4}$

ステップ 3.3.2.1.6.5.3

$a = t$ と $b = K$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

$y = t^{4} + t^{3} + t^{2} K + \frac{{(t + K)}^{2}}{4}$

ステップ 3.4

$t^{4} + t^{3} + t^{2} K + \frac{{(t + K)}^{2}}{4}$ を簡約します。

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ステップ 3.4.1

$t^{2}$ と $K$ を並べ替えます。

$y = t^{4} + t^{3} + K t^{2} + \frac{{(t + K)}^{2}}{4}$

ステップ 3.4.2

$t$ と $K$ を並べ替えます。

$y = t^{4} + t^{3} + K t^{2} + \frac{{(K + t)}^{2}}{4}$

ステップ 3.4.3

$t^{3}$ を移動させます。

$y = t^{4} + K t^{2} + \frac{{(K + t)}^{2}}{4} + t^{3}$

ステップ 3.4.4

$K t^{2}$ を移動させます。

$y = t^{4} + \frac{{(K + t)}^{2}}{4} + K t^{2} + t^{3}$

ステップ 3.4.5

$t^{4}$ と $\frac{{(K + t)}^{2}}{4}$ を並べ替えます。

$y = \frac{{(K + t)}^{2}}{4} + t^{4} + K t^{2} + t^{3}$

微分積分 例

微分積分例