微分積分例

$\frac{d y}{d x} = x^{3} - x y$

ステップ 1

方程式の両辺に $x y$ を足します。

$\frac{d y}{d x} + x y = x^{3}$

ステップ 2

$P (x) = x$ のとき、積分因数は公式 $e^{\int P (x) d x}$ で定義されます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

積分を設定します。

$e^{\int x d x}$

ステップ 2.2

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$e^{\frac{1}{2} x^{2} + C}$

ステップ 2.3

積分定数を削除します。

$e^{\frac{1}{2} x^{2}}$

ステップ 2.4

$\frac{1}{2}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$e^{\frac{x^{2}}{2}}$

ステップ 3

各項に積分因数 $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

各項に $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ を掛けます。

$e^{\frac{x^{2}}{2}} \frac{d y}{d x} + e^{\frac{x^{2}}{2}} (x y) = e^{\frac{x^{2}}{2}} x^{3}$

ステップ 3.2

$e^{\frac{x^{2}}{2}} \frac{d y}{d x} + e^{\frac{x^{2}}{2}} (x y) = e^{\frac{x^{2}}{2}} x^{3}$ の因数を並べ替えます。

$e^{\frac{x^{2}}{2}} \frac{d y}{d x} + x y e^{\frac{x^{2}}{2}} = x^{3} e^{\frac{x^{2}}{2}}$

ステップ 4

左辺を積を微分した結果として書き換えます。

$\frac{d}{d x} [e^{\frac{x^{2}}{2}} y] = x^{3} e^{\frac{x^{2}}{2}}$

ステップ 5

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{d}{d x} [e^{\frac{x^{2}}{2}} y] d x = \int x^{3} e^{\frac{x^{2}}{2}} d x$

ステップ 6

左辺を積分します。

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = \int x^{3} e^{\frac{x^{2}}{2}} d x$

ステップ 7

右辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

$u = \frac{x^{2}}{2}$ とします。次に $d u = x d x$ すると、 $\frac{1}{x} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1

$u = \frac{x^{2}}{2}$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1.1

$\frac{x^{2}}{2}$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$

ステップ 7.1.1.2

$\frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{x^{2}}{2}$ の微分係数は $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 7.1.1.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2} (2 x)$

ステップ 7.1.1.4

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1.4.1

$2$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{2}{2} x$

ステップ 7.1.1.4.2

$\frac{2}{2}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{2 x}{2}$

ステップ 7.1.1.4.3

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1.4.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2}$

ステップ 7.1.1.4.3.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x$

ステップ 7.1.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = \int {\sqrt{2 u}}^{2} e^{u} d u$

ステップ 7.2

${\sqrt{2 u}}^{2}$ を $2 u$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2 u}$ を ${(2 u)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = \int {({(2 u)}^{\frac{1}{2}})}^{2} e^{u} d u$

ステップ 7.2.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = \int {(2 u)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} e^{u} d u$

ステップ 7.2.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = \int {(2 u)}^{\frac{2}{2}} e^{u} d u$

ステップ 7.2.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.4.1

共通因数を約分します。

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = \int {(2 u)}^{\frac{2}{2}} e^{u} d u$

ステップ 7.2.4.2

式を書き換えます。

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = \int {(2 u)}^{1} e^{u} d u$

ステップ 7.2.5

簡約します。

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = \int 2 u e^{u} d u$

ステップ 7.3

$2$ は $u$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = 2 \int u e^{u} d u$

ステップ 7.4

$w = u$ と $dv = e^{u}$ ならば、公式 $\int w d v = w v - \int v d w$ を利用して部分積分します。

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = 2 (u e^{u} - \int e^{u} d u)$

ステップ 7.5

$e^{u}$ の $u$ に関する積分は $e^{u}$ です。

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = 2 (u e^{u} - (e^{u} + C))$

ステップ 7.6

簡約します。

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = 2 (u e^{u} - e^{u}) + C$

ステップ 7.7

$u$ のすべての発生を $\frac{x^{2}}{2}$ で置き換えます。

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = 2 (\frac{x^{2}}{2} e^{\frac{x^{2}}{2}} - e^{\frac{x^{2}}{2}}) + C$

ステップ 7.8

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.8.1

$\frac{x^{2}}{2}$ と $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ をまとめます。

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = 2 (\frac{x^{2} e^{\frac{x^{2}}{2}}}{2} - e^{\frac{x^{2}}{2}}) + C$

ステップ 7.8.2

分配則を当てはめます。

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = 2 \frac{x^{2} e^{\frac{x^{2}}{2}}}{2} + 2 (- e^{\frac{x^{2}}{2}}) + C$

ステップ 7.8.3

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.8.3.1

共通因数を約分します。

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = 2 \frac{x^{2} e^{\frac{x^{2}}{2}}}{2} + 2 (- e^{\frac{x^{2}}{2}}) + C$

ステップ 7.8.3.2

式を書き換えます。

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = x^{2} e^{\frac{x^{2}}{2}} + 2 (- e^{\frac{x^{2}}{2}}) + C$

ステップ 7.8.4

$- 1$ に $2$ をかけます。

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = x^{2} e^{\frac{x^{2}}{2}} - 2 e^{\frac{x^{2}}{2}} + C$

ステップ 7.9

項を並べ替えます。

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = x^{2} e^{\frac{1}{2} x^{2}} - 2 e^{\frac{1}{2} x^{2}} + C$

ステップ 8

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = x^{2} e^{\frac{1}{2} x^{2}} - 2 e^{\frac{1}{2} x^{2}} + C$ の各項を $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = x^{2} e^{\frac{1}{2} x^{2}} - 2 e^{\frac{1}{2} x^{2}} + C$ の各項を $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ で割ります。

$\frac{e^{\frac{x^{2}}{2}} y}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} = \frac{x^{2} e^{\frac{1}{2} x^{2}}}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{- 2 e^{\frac{1}{2} x^{2}}}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

ステップ 8.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1

$e^{\frac{x^{2}}{2}}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{e^{\frac{x^{2}}{2}} y}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} = \frac{x^{2} e^{\frac{1}{2} x^{2}}}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{- 2 e^{\frac{1}{2} x^{2}}}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

ステップ 8.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{x^{2} e^{\frac{1}{2} x^{2}}}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{- 2 e^{\frac{1}{2} x^{2}}}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

ステップ 8.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1.1

$e^{\frac{1}{2} x^{2}}$ と $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1.1.1

$e^{\frac{x^{2}}{2}}$ を $x^{2} e^{\frac{1}{2} x^{2}}$ で因数分解します。

$y = \frac{e^{\frac{x^{2}}{2}} (x^{2} e^{\frac{\frac{1}{2} x^{2} \cdot 2 - x^{2}}{2}})}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{- 2 e^{\frac{1}{2} x^{2}}}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

ステップ 8.3.1.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1.1.2.1

$1$ を掛けます。

$y = \frac{e^{\frac{x^{2}}{2}} (x^{2} e^{\frac{\frac{1}{2} x^{2} \cdot 2 - x^{2}}{2}})}{e^{\frac{x^{2}}{2}} \cdot 1} + \frac{- 2 e^{\frac{1}{2} x^{2}}}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

ステップ 8.3.1.1.2.2

共通因数を約分します。

ステップ 8.3.1.1.2.3

式を書き換えます。

$y = \frac{x^{2} e^{\frac{\frac{1}{2} x^{2} \cdot 2 - x^{2}}{2}}}{1} + \frac{- 2 e^{\frac{1}{2} x^{2}}}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

ステップ 8.3.1.1.2.4

$x^{2} e^{\frac{\frac{1}{2} x^{2} \cdot 2 - x^{2}}{2}}$ を $1$ で割ります。

$y = x^{2} e^{\frac{\frac{1}{2} x^{2} \cdot 2 - x^{2}}{2}} + \frac{- 2 e^{\frac{1}{2} x^{2}}}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

ステップ 8.3.1.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1.2.1

$x^{2}$ を $\frac{1}{2} x^{2} \cdot 2 - x^{2}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1.2.1.1

$x^{2}$ を $\frac{1}{2} x^{2} \cdot 2$ で因数分解します。

$y = x^{2} e^{\frac{x^{2} (\frac{1}{2} \cdot 2) - x^{2}}{2}} + \frac{- 2 e^{\frac{1}{2} x^{2}}}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

ステップ 8.3.1.2.1.2

$x^{2}$ を $- x^{2}$ で因数分解します。

$y = x^{2} e^{\frac{x^{2} (\frac{1}{2} \cdot 2) + x^{2} \cdot - 1}{2}} + \frac{- 2 e^{\frac{1}{2} x^{2}}}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

ステップ 8.3.1.2.1.3

$x^{2}$ を $x^{2} (\frac{1}{2} \cdot 2) + x^{2} \cdot - 1$ で因数分解します。

$y = x^{2} e^{\frac{x^{2} (\frac{1}{2} \cdot 2 - 1)}{2}} + \frac{- 2 e^{\frac{1}{2} x^{2}}}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

ステップ 8.3.1.2.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1.2.2.1

共通因数を約分します。

$y = x^{2} e^{\frac{x^{2} (\frac{1}{2} \cdot 2 - 1)}{2}} + \frac{- 2 e^{\frac{1}{2} x^{2}}}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

ステップ 8.3.1.2.2.2

式を書き換えます。

$y = x^{2} e^{\frac{x^{2} (1 - 1)}{2}} + \frac{- 2 e^{\frac{1}{2} x^{2}}}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

ステップ 8.3.1.2.3

$1$ から $1$ を引きます。

$y = x^{2} e^{\frac{x^{2} \cdot 0}{2}} + \frac{- 2 e^{\frac{1}{2} x^{2}}}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

ステップ 8.3.1.3

$x^{2}$ に $0$ をかけます。

$y = x^{2} e^{\frac{0}{2}} + \frac{- 2 e^{\frac{1}{2} x^{2}}}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

ステップ 8.3.1.4

$0$ を $2$ で割ります。

$y = x^{2} e^{0} + \frac{- 2 e^{\frac{1}{2} x^{2}}}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

ステップ 8.3.1.5

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$y = x^{2} \cdot 1 + \frac{- 2 e^{\frac{1}{2} x^{2}}}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

ステップ 8.3.1.6

$x^{2}$ に $1$ をかけます。

$y = x^{2} + \frac{- 2 e^{\frac{1}{2} x^{2}}}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

ステップ 8.3.1.7

$e^{\frac{1}{2} x^{2}}$ と $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1.7.1

$e^{\frac{x^{2}}{2}}$ を $- 2 e^{\frac{1}{2} x^{2}}$ で因数分解します。

$y = x^{2} + \frac{e^{\frac{x^{2}}{2}} (- 2 e^{\frac{\frac{1}{2} x^{2} \cdot 2 - x^{2}}{2}})}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

ステップ 8.3.1.7.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1.7.2.1

$1$ を掛けます。

$y = x^{2} + \frac{e^{\frac{x^{2}}{2}} (- 2 e^{\frac{\frac{1}{2} x^{2} \cdot 2 - x^{2}}{2}})}{e^{\frac{x^{2}}{2}} \cdot 1} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

ステップ 8.3.1.7.2.2

共通因数を約分します。

$y = x^{2} + \frac{e^{\frac{x^{2}}{2}} (- 2 e^{\frac{\frac{1}{2} x^{2} \cdot 2 - x^{2}}{2}})}{e^{\frac{x^{2}}{2}} \cdot 1} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

ステップ 8.3.1.7.2.3

式を書き換えます。

$y = x^{2} + \frac{- 2 e^{\frac{\frac{1}{2} x^{2} \cdot 2 - x^{2}}{2}}}{1} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

ステップ 8.3.1.7.2.4

$- 2 e^{\frac{\frac{1}{2} x^{2} \cdot 2 - x^{2}}{2}}$ を $1$ で割ります。

$y = x^{2} - 2 e^{\frac{\frac{1}{2} x^{2} \cdot 2 - x^{2}}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

ステップ 8.3.1.8

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1.8.1

$x^{2}$ を $\frac{1}{2} x^{2} \cdot 2 - x^{2}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1.8.1.1

$x^{2}$ を $\frac{1}{2} x^{2} \cdot 2$ で因数分解します。

$y = x^{2} - 2 e^{\frac{x^{2} (\frac{1}{2} \cdot 2) - x^{2}}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

ステップ 8.3.1.8.1.2

$x^{2}$ を $- x^{2}$ で因数分解します。

$y = x^{2} - 2 e^{\frac{x^{2} (\frac{1}{2} \cdot 2) + x^{2} \cdot - 1}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

ステップ 8.3.1.8.1.3

$x^{2}$ を $x^{2} (\frac{1}{2} \cdot 2) + x^{2} \cdot - 1$ で因数分解します。

$y = x^{2} - 2 e^{\frac{x^{2} (\frac{1}{2} \cdot 2 - 1)}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

ステップ 8.3.1.8.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1.8.2.1

共通因数を約分します。

$y = x^{2} - 2 e^{\frac{x^{2} (\frac{1}{2} \cdot 2 - 1)}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

ステップ 8.3.1.8.2.2

式を書き換えます。

$y = x^{2} - 2 e^{\frac{x^{2} (1 - 1)}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

ステップ 8.3.1.8.3

$1$ から $1$ を引きます。

$y = x^{2} - 2 e^{\frac{x^{2} \cdot 0}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

ステップ 8.3.1.9

$x^{2}$ に $0$ をかけます。

$y = x^{2} - 2 e^{\frac{0}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

ステップ 8.3.1.10

$0$ を $2$ で割ります。

$y = x^{2} - 2 e^{0} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

ステップ 8.3.1.11

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$y = x^{2} - 2 \cdot 1 + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

ステップ 8.3.1.12

$- 2$ に $1$ をかけます。

$y = x^{2} - 2 + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

微分積分 例

微分積分例