微分積分例

$y (1 + x y) d x - x d y = 0$

ステップ 1

$M (x, y) = y (1 + x y)$ の時の $\frac{\partial M}{\partial y}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$y$ に関して $M$ を微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y (1 + x y)]$

ステップ 1.2

$f (y) = y$ および $g (y) = 1 + x y$ のとき、 $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ は $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = y \frac{d}{d y} [1 + x y] + (1 + x y) \frac{d}{d y} [y]$

ステップ 1.3

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

総和則では、 $1 + x y$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [x y]$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [x y]) + (1 + x y) \frac{d}{d y} [y]$

ステップ 1.3.2

$1$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (0 + \frac{d}{d y} [x y]) + (1 + x y) \frac{d}{d y} [y]$

ステップ 1.3.3

$0$ と $\frac{d}{d y} [x y]$ をたし算します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = y \frac{d}{d y} [x y] + (1 + x y) \frac{d}{d y} [y]$

ステップ 1.3.4

$x$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $x y$ の微分係数は $x \frac{d}{d y} [y]$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (x \frac{d}{d y} [y]) + (1 + x y) \frac{d}{d y} [y]$

ステップ 1.3.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (x \cdot 1) + (1 + x y) \frac{d}{d y} [y]$

ステップ 1.3.6

$x$ に $1$ をかけます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = y x + (1 + x y) \frac{d}{d y} [y]$

ステップ 1.3.7

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = y x + (1 + x y) \cdot 1$

ステップ 1.3.8

$1 + x y$ に $1$ をかけます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = y x + 1 + x y$

ステップ 1.4

$y x$ と $x y$ をたし算します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

$y$ と $x$ を並べ替えます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = x y + x y + 1$

ステップ 1.4.2

$x y$ と $x y$ をたし算します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x y + 1$

ステップ 2

$N (x, y) = - x$ の時の $\frac{\partial N}{\partial x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$x$ に関して $N$ を微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 2.2

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 1 \cdot 1$

ステップ 2.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 1$

ステップ 3

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ を確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$2 x y + 1$ を $\frac{\partial M}{\partial y}$ に、 $- 1$ を $\frac{\partial N}{\partial x}$ に代入します。

$2 x y + 1 = - 1$

ステップ 3.2

方程式の左辺が右辺に等しくないので、方程式は恒等式ではありません。

$2 x y + 1 = - 1$ は恒等式ではありません。

ステップ 4

積分因子 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$- 1$ を $\frac{\partial N}{\partial x}$ に代入します。

$\frac{- 1 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

ステップ 4.2

$2 x y + 1$ を $\frac{\partial M}{\partial y}$ に代入します。

$\frac{- 1 - (2 x y + 1)}{M}$

ステップ 4.3

$y (1 + x y)$ を $M$ に代入します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

$y (1 + x y)$ を $M$ に代入します。

$\frac{- 1 - (2 x y + 1)}{y (1 + x y)}$

ステップ 4.3.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1

$- 1$ を $- 1 - (2 x y + 1)$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1.1

$- 1$ と $- (2 x y + 1)$ を並べ替えます。

$\frac{- (2 x y + 1) - 1}{y (1 + x y)}$

ステップ 4.3.2.1.2

$- 1$ を $- 1 (1)$ に書き換えます。

$\frac{- (2 x y + 1) - 1 (1)}{y (1 + x y)}$

ステップ 4.3.2.1.3

$- 1$ を $- (2 x y + 1) - 1 (1)$ で因数分解します。

$\frac{- (2 x y + 1 + 1)}{y (1 + x y)}$

ステップ 4.3.2.2

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{- (2 x y + 2)}{y (1 + x y)}$

ステップ 4.3.2.3

$2$ を $2 x y + 2$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.3.1

$2$ を $2 x y$ で因数分解します。

$\frac{- (2 (x y) + 2)}{y (1 + x y)}$

ステップ 4.3.2.3.2

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{- (2 (x y) + 2 (1))}{y (1 + x y)}$

ステップ 4.3.2.3.3

$2$ を $2 (x y) + 2 (1)$ で因数分解します。

$\frac{- (2 (x y + 1))}{y (1 + x y)}$

$\frac{- 1 \cdot 2 (x y + 1)}{y (1 + x y)}$

ステップ 4.3.2.4

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{- 2 (x y + 1)}{y (1 + x y)}$

ステップ 4.3.3

$x y + 1$ と $1 + x y$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.3.1

項を並べ替えます。

$\frac{- 2 (x y + 1)}{y (x y + 1)}$

ステップ 4.3.3.2

共通因数を約分します。

$\frac{- 2 (x y + 1)}{y (x y + 1)}$

ステップ 4.3.3.3

式を書き換えます。

$\frac{- 2}{y}$

ステップ 4.3.4

$y (1 + x y)$ を $M$ に代入します。

$- \frac{2}{y}$

ステップ 4.4

積分因子 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ を求めます。

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{2}{y} d y}$

ステップ 5

積分 $e^{\int - \frac{2}{y} d y}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$- 1$ は $y$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{2}{y} d y}$

ステップ 5.2

$2$ は $y$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$μ (x, y) = e^{- (2 \int \frac{1}{y} d y)}$

ステップ 5.3

$2$ に $- 1$ をかけます。

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{y} d y}$

ステップ 5.4

$\frac{1}{y}$ の $y$ に関する積分は $\ln (| y |)$ です。

$μ (x, y) = e^{- 2 (\ln (| y |) + C)}$

ステップ 5.5

簡約します。

$μ (x, y) = e^{- 2 \ln (| y |)} + C$

ステップ 5.6

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.6.1

対数の中の $- 2$ を移動させて $- 2 \ln (| y |)$ を簡約します。

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 2})} + C$

ステップ 5.6.2

指数関数と対数関数は逆関数です。

$μ (x, y) = {| y |}^{- 2} + C$

ステップ 5.6.3

偶数乗をもつ累乗法は常に正なので、 ${| y |}^{- 2}$ の絶対値を削除します。

$μ (x, y) = y^{- 2} + C$

ステップ 5.6.4

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$μ (x, y) = \frac{1}{y^{2}} + C$

ステップ 6

$y (1 + x y) d x - x d y = 0$ の両辺に積分因子 $\frac{1}{y^{2}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

$y (1 + x y)$ に $\frac{1}{y^{2}}$ をかけます。

$y (1 + x y) \frac{1}{y^{2}} d x - x d y = 0$

ステップ 6.2

$y$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

$y$ を $y^{2}$ で因数分解します。

$y (1 + x y) \frac{1}{y \cdot y} d x - x d y = 0$

ステップ 6.2.2

共通因数を約分します。

$y (1 + x y) \frac{1}{y \cdot y} d x - x d y = 0$

ステップ 6.2.3

式を書き換えます。

$(1 + x y) \frac{1}{y} d x - x d y = 0$

ステップ 6.3

$1 + x y$ に $\frac{1}{y}$ をかけます。

$\frac{1 + x y}{y} d x - x d y = 0$

ステップ 6.4

$- x$ に $\frac{1}{y^{2}}$ をかけます。

$\frac{1 + x y}{y} d x - x \frac{1}{y^{2}} d y = 0$

ステップ 6.5

$\frac{1}{y^{2}}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{1 + x y}{y} d x - \frac{x}{y^{2}} d y = 0$

ステップ 7

$f (x, y)$ は $N (x, y)$ の積分と等しいとします。

$f (x, y) = \int - \frac{x}{y^{2}} d y$

ステップ 8

$N (x, y) = - \frac{x}{y^{2}}$ を積分して $f (x, y)$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

$- 1$ は $y$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$f (x, y) = - \int \frac{x}{y^{2}} d y$

ステップ 8.2

$x$ は $y$ に対して定数なので、 $x$ を積分の外に移動させます。

$f (x, y) = - (x \int \frac{1}{y^{2}} d y)$

ステップ 8.3

括弧を削除します。

$f (x, y) = - x \int \frac{1}{y^{2}} d y$

ステップ 8.4

$y^{2}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$f (x, y) = - x \int {(y^{2})}^{- 1} d y$

ステップ 8.5

${(y^{2})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.5.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f (x, y) = - x \int y^{2 \cdot - 1} d y$

ステップ 8.5.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$f (x, y) = - x \int y^{- 2} d y$

ステップ 8.6

べき乗則では、 $y^{- 2}$ の $y$ に関する積分は $- y^{- 1}$ です。

$f (x, y) = - x (- y^{- 1} + C)$

ステップ 8.7

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.7.1

$- x (- y^{- 1} + C)$ を $- x (- \frac{1}{y}) + C$ に書き換えます。

$f (x, y) = - x (- \frac{1}{y}) + C$

ステップ 8.7.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.7.2.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$f (x, y) = 1 x \frac{1}{y} + C$

ステップ 8.7.2.2

$x$ に $1$ をかけます。

$f (x, y) = x \frac{1}{y} + C$

ステップ 8.7.2.3

$x$ と $\frac{1}{y}$ をまとめます。

$f (x, y) = \frac{x}{y} + C$

ステップ 9

$g (x)$ の積分は積分定数を含むので、 $C$ を $g (x)$ で置き換えることができます。

$f (x, y) = \frac{x}{y} + g (x)$

ステップ 10

$\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ を設定します。

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{1 + x y}{y}$

ステップ 11

$\frac{\partial f}{\partial x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1

$x$ に関して $f$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{y} + g (x)] = \frac{1 + x y}{y}$

ステップ 11.2

総和則では、 $\frac{x}{y} + g (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\frac{x}{y}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{y}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{y}$

ステップ 11.3

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.3.1

$\frac{1}{y}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{x}{y}$ の微分係数は $\frac{1}{y} \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{1}{y} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{y}$

ステップ 11.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{y} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{y}$

ステップ 11.3.3

$\frac{1}{y}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{y} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{y}$

ステップ 11.4

$g (x)$ の微分係数は $\frac{d g}{d x}$ であるという関数の規則を使って微分します。

$\frac{1}{y} + \frac{d g}{d x} = \frac{1 + x y}{y}$

ステップ 11.5

項を並べ替えます。

$\frac{d g}{d x} + \frac{1}{y} = \frac{1 + x y}{y}$

ステップ 12

$\frac{d g}{d x}$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1

$\frac{d g}{d x}$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.1

変数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.1.1

方程式の両辺から $\frac{1 + x y}{y}$ を引きます。

$\frac{d g}{d x} + \frac{1}{y} - \frac{1 + x y}{y} = 0$

ステップ 12.1.1.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{d g}{d x} + \frac{1 - (1 + x y)}{y} = 0$

ステップ 12.1.1.3

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.1.3.1

分配則を当てはめます。

$\frac{d g}{d x} + \frac{1 - 1 \cdot 1 - (x y)}{y} = 0$

ステップ 12.1.1.3.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{d g}{d x} + \frac{1 - 1 - x y}{y} = 0$

ステップ 12.1.1.4

$1$ から $1$ を引きます。

$\frac{d g}{d x} + \frac{0 - x y}{y} = 0$

ステップ 12.1.1.5

$0$ から $x y$ を引きます。

$\frac{d g}{d x} + \frac{- x y}{y} = 0$

ステップ 12.1.1.6

$y$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.1.6.1

共通因数を約分します。

$\frac{d g}{d x} + \frac{- x y}{y} = 0$

ステップ 12.1.1.6.2

$- x$ を $1$ で割ります。

$\frac{d g}{d x} - x = 0$

ステップ 12.1.2

方程式の両辺に $x$ を足します。

$\frac{d g}{d x} = x$

ステップ 13

$x$ の不定積分を求めて $g (x)$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1

$\frac{d g}{d x} = x$ の両辺を積分します。

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int x d x$

ステップ 13.2

$\int \frac{d g}{d x} d x$ の値を求めます。

$g (x) = \int x d x$

ステップ 13.3

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$g (x) = \frac{1}{2} x^{2} + C$

ステップ 14

$f (x, y) = \frac{x}{y} + g (x)$ の $g (x)$ に代入します。

$f (x, y) = \frac{x}{y} + \frac{1}{2} x^{2} + C$

ステップ 15

$\frac{1}{2}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$f (x, y) = \frac{x}{y} + \frac{x^{2}}{2} + C$

微分積分 例

微分積分例