微分積分例

$\frac{d^{2} s}{d t^{2}} = \sin (3 t) + \cos (3 t)$

ステップ 1

$t$ について両辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

一次導関数は、 $t$ について二次導関数の積分に等しいです。

$\frac{d s}{d t} = \int \sin (3 t) + \cos (3 t) d t$

ステップ 1.2

単一積分を複数積分に分割します。

$\frac{d s}{d t} = \int \sin (3 t) d t + \int \cos (3 t) d t$

ステップ 1.3

$u_{1} = 3 t$ とします。次に $d u_{1} = 3 d t$ すると、 $\frac{1}{3} d u_{1} = d t$ です。 $u_{1}$ と $d$ $u_{1}$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$u_{1} = 3 t$ とします。 $\frac{d u_{1}}{d t}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1.1

$3 t$ を微分します。

$\frac{d}{d t} [3 t]$

ステップ 1.3.1.2

$3$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $3 t$ の微分係数は $3 \frac{d}{d t} [t]$ です。

$3 \frac{d}{d t} [t]$

ステップ 1.3.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 \cdot 1$

ステップ 1.3.1.4

$3$ に $1$ をかけます。

$3$

ステップ 1.3.2

$u_{1}$ と $d u_{1}$ を利用して問題を書き換えます。

$\frac{d s}{d t} = \int \sin (u_{1}) \frac{1}{3} d u_{1} + \int \cos (3 t) d t$

ステップ 1.4

$\sin (u_{1})$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$\frac{d s}{d t} = \int \frac{\sin (u_{1})}{3} d u_{1} + \int \cos (3 t) d t$

ステップ 1.5

$\frac{1}{3}$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{3}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{d s}{d t} = \frac{1}{3} \int \sin (u_{1}) d u_{1} + \int \cos (3 t) d t$

ステップ 1.6

$\sin (u_{1})$ の $u_{1}$ に関する積分は $- \cos (u_{1})$ です。

$\frac{d s}{d t} = \frac{1}{3} (- \cos (u_{1}) + C_{1}) + \int \cos (3 t) d t$

ステップ 1.7

$u_{2} = 3 t$ とします。次に $d u_{2} = 3 d t$ すると、 $\frac{1}{3} d u_{2} = d t$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.1

$u_{2} = 3 t$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d t}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.1.1

$3 t$ を微分します。

$\frac{d}{d t} [3 t]$

ステップ 1.7.1.2

$3$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $3 t$ の微分係数は $3 \frac{d}{d t} [t]$ です。

$3 \frac{d}{d t} [t]$

ステップ 1.7.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 \cdot 1$

ステップ 1.7.1.4

$3$ に $1$ をかけます。

$3$

ステップ 1.7.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$\frac{d s}{d t} = \frac{1}{3} (- \cos (u_{1}) + C_{1}) + \int \cos (u_{2}) \frac{1}{3} d u_{2}$

ステップ 1.8

$\cos (u_{2})$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$\frac{d s}{d t} = \frac{1}{3} (- \cos (u_{1}) + C_{1}) + \int \frac{\cos (u_{2})}{3} d u_{2}$

ステップ 1.9

$\frac{1}{3}$ は $u_{2}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{3}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{d s}{d t} = \frac{1}{3} (- \cos (u_{1}) + C_{1}) + \frac{1}{3} \int \cos (u_{2}) d u_{2}$

ステップ 1.10

$\cos (u_{2})$ の $u_{2}$ に関する積分は $\sin (u_{2})$ です。

$\frac{d s}{d t} = \frac{1}{3} (- \cos (u_{1}) + C_{1}) + \frac{1}{3} (\sin (u_{2}) + C_{2})$

ステップ 1.11

簡約します。

$\frac{d s}{d t} = - \frac{\cos (u_{1})}{3} + \frac{1}{3} \sin (u_{2}) + C_{3}$

ステップ 1.12

各積分に置換変数を戻し入れます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.12.1

$u_{1}$ のすべての発生を $3 t$ で置き換えます。

$\frac{d s}{d t} = - \frac{\cos (3 t)}{3} + \frac{1}{3} \sin (u_{2}) + C_{3}$

ステップ 1.12.2

$u_{2}$ のすべての発生を $3 t$ で置き換えます。

$\frac{d s}{d t} = - \frac{\cos (3 t)}{3} + \frac{1}{3} \sin (3 t) + C_{3}$

ステップ 1.13

項を並べ替えます。

$\frac{d s}{d t} = - \frac{1}{3} \cos (3 t) + \frac{1}{3} \sin (3 t) + C_{3}$

ステップ 2

方程式を書き換えます。

$d s = (- \frac{1}{3} \cos (3 t) + \frac{1}{3} \sin (3 t) + C_{3}) d t$

ステップ 3

両辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

各辺の積分を設定します。

$\int d s = \int - \frac{1}{3} \cos (3 t) + \frac{1}{3} \sin (3 t) + C_{3} d t$

ステップ 3.2

定数の法則を当てはめます。

$s + C_{4} = \int - \frac{1}{3} \cos (3 t) + \frac{1}{3} \sin (3 t) + C_{3} d t$

ステップ 3.3

右辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

単一積分を複数積分に分割します。

$s + C_{4} = \int - \frac{1}{3} \cos (3 t) d t + \int \frac{1}{3} \sin (3 t) d t + \int C_{3} d t$

ステップ 3.3.2

$- \frac{1}{3}$ は $t$ に対して定数なので、 $- \frac{1}{3}$ を積分の外に移動させます。

$s + C_{4} = - \frac{1}{3} \int \cos (3 t) d t + \int \frac{1}{3} \sin (3 t) d t + \int C_{3} d t$

ステップ 3.3.3

$u_{3} = 3 t$ とします。次に $d u_{3} = 3 d t$ すると、 $\frac{1}{3} d u_{3} = d t$ です。 $u_{3}$ と $d$ $u_{3}$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.1

$u_{3} = 3 t$ とします。 $\frac{d u_{3}}{d t}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.1.1

$3 t$ を微分します。

$\frac{d}{d t} [3 t]$

ステップ 3.3.3.1.2

$3$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $3 t$ の微分係数は $3 \frac{d}{d t} [t]$ です。

$3 \frac{d}{d t} [t]$

ステップ 3.3.3.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 \cdot 1$

ステップ 3.3.3.1.4

$3$ に $1$ をかけます。

$3$

ステップ 3.3.3.2

$u_{3}$ と $d u_{3}$ を利用して問題を書き換えます。

$s + C_{4} = - \frac{1}{3} \int \cos (u_{3}) \frac{1}{3} d u_{3} + \int \frac{1}{3} \sin (3 t) d t + \int C_{3} d t$

ステップ 3.3.4

$\cos (u_{3})$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$s + C_{4} = - \frac{1}{3} \int \frac{\cos (u_{3})}{3} d u_{3} + \int \frac{1}{3} \sin (3 t) d t + \int C_{3} d t$

ステップ 3.3.5

$\frac{1}{3}$ は $u_{3}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{3}$ を積分の外に移動させます。

$s + C_{4} = - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} \int \cos (u_{3}) d u_{3}) + \int \frac{1}{3} \sin (3 t) d t + \int C_{3} d t$

ステップ 3.3.6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.6.1

$\frac{1}{3}$ に $\frac{1}{3}$ をかけます。

$s + C_{4} = - \frac{1}{3 \cdot 3} \int \cos (u_{3}) d u_{3} + \int \frac{1}{3} \sin (3 t) d t + \int C_{3} d t$

ステップ 3.3.6.2

$3$ に $3$ をかけます。

$s + C_{4} = - \frac{1}{9} \int \cos (u_{3}) d u_{3} + \int \frac{1}{3} \sin (3 t) d t + \int C_{3} d t$

ステップ 3.3.7

$\cos (u_{3})$ の $u_{3}$ に関する積分は $\sin (u_{3})$ です。

$s + C_{4} = - \frac{1}{9} (\sin (u_{3}) + C_{5}) + \int \frac{1}{3} \sin (3 t) d t + \int C_{3} d t$

ステップ 3.3.8

$\frac{1}{3}$ は $t$ に対して定数なので、 $\frac{1}{3}$ を積分の外に移動させます。

$s + C_{4} = - \frac{1}{9} (\sin (u_{3}) + C_{5}) + \frac{1}{3} \int \sin (3 t) d t + \int C_{3} d t$

ステップ 3.3.9

$u_{4} = 3 t$ とします。次に $d u_{4} = 3 d t$ すると、 $\frac{1}{3} d u_{4} = d t$ です。 $u_{4}$ と $d$ $u_{4}$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.9.1

$u_{4} = 3 t$ とします。 $\frac{d u_{4}}{d t}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.9.1.1

$3 t$ を微分します。

$\frac{d}{d t} [3 t]$

ステップ 3.3.9.1.2

$3$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $3 t$ の微分係数は $3 \frac{d}{d t} [t]$ です。

$3 \frac{d}{d t} [t]$

ステップ 3.3.9.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 \cdot 1$

ステップ 3.3.9.1.4

$3$ に $1$ をかけます。

$3$

ステップ 3.3.9.2

$u_{4}$ と $d u_{4}$ を利用して問題を書き換えます。

$s + C_{4} = - \frac{1}{9} (\sin (u_{3}) + C_{5}) + \frac{1}{3} \int \sin (u_{4}) \frac{1}{3} d u_{4} + \int C_{3} d t$

ステップ 3.3.10

$\sin (u_{4})$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$s + C_{4} = - \frac{1}{9} (\sin (u_{3}) + C_{5}) + \frac{1}{3} \int \frac{\sin (u_{4})}{3} d u_{4} + \int C_{3} d t$

ステップ 3.3.11

$\frac{1}{3}$ は $u_{4}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{3}$ を積分の外に移動させます。

$s + C_{4} = - \frac{1}{9} (\sin (u_{3}) + C_{5}) + \frac{1}{3} (\frac{1}{3} \int \sin (u_{4}) d u_{4}) + \int C_{3} d t$

ステップ 3.3.12

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.12.1

$\frac{1}{3}$ に $\frac{1}{3}$ をかけます。

$s + C_{4} = - \frac{1}{9} (\sin (u_{3}) + C_{5}) + \frac{1}{3 \cdot 3} \int \sin (u_{4}) d u_{4} + \int C_{3} d t$

ステップ 3.3.12.2

$3$ に $3$ をかけます。

$s + C_{4} = - \frac{1}{9} (\sin (u_{3}) + C_{5}) + \frac{1}{9} \int \sin (u_{4}) d u_{4} + \int C_{3} d t$

ステップ 3.3.13

$\sin (u_{4})$ の $u_{4}$ に関する積分は $- \cos (u_{4})$ です。

$s + C_{4} = - \frac{1}{9} (\sin (u_{3}) + C_{5}) + \frac{1}{9} (- \cos (u_{4}) + C_{6}) + \int C_{3} d t$

ステップ 3.3.14

定数の法則を当てはめます。

$s + C_{4} = - \frac{1}{9} (\sin (u_{3}) + C_{5}) + \frac{1}{9} (- \cos (u_{4}) + C_{6}) + C_{3} t + C_{7}$

ステップ 3.3.15

簡約します。

$s + C_{4} = - \frac{\sin (u_{3})}{9} - \frac{\cos (u_{4})}{9} + C_{3} t + C_{8}$

ステップ 3.3.16

各積分に置換変数を戻し入れます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.16.1

$u_{3}$ のすべての発生を $3 t$ で置き換えます。

$s + C_{4} = - \frac{\sin (3 t)}{9} - \frac{\cos (u_{4})}{9} + C_{3} t + C_{8}$

ステップ 3.3.16.2

$u_{4}$ のすべての発生を $3 t$ で置き換えます。

$s + C_{4} = - \frac{\sin (3 t)}{9} - \frac{\cos (3 t)}{9} + C_{3} t + C_{8}$

ステップ 3.3.17

項を並べ替えます。

$s + C_{4} = - \frac{1}{9} \sin (3 t) - \frac{1}{9} \cos (3 t) + C_{3} t + C_{8}$

ステップ 3.4

右辺の積分定数を $D$ としてまとめます。

$s = - \frac{1}{9} \sin (3 t) - \frac{1}{9} \cos (3 t) + C t + D$

微分積分 例

微分積分例