微分積分例

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + (\cos (x)) y = 5 \sin (x^{2})$

ステップ 1

方程式の左辺は項 $\sin (x) y$ の微分係数の結果か確認します。

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ステップ 1.1

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$\sin (x) \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$\sin (x) y' + y \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

ステップ 1.3

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$\sin (x) y' + y \cos (x)$

ステップ 1.4

$\frac{d y}{d x}$ を $y'$ に代入します。

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + y \cos (x)$

ステップ 2

左辺を積を微分した結果として書き換えます。

$\frac{d}{d x} [\sin (x) y] = 5 \sin (x^{2})$

ステップ 3

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{d}{d x} [\sin (x) y] d x = \int 5 \sin (x^{2}) d x$

ステップ 4

左辺を積分します。

$\sin (x) y = \int 5 \sin (x^{2}) d x$

ステップ 5

右辺を積分します。

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ステップ 5.1

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $5$ を積分の外に移動させます。

$\sin (x) y = 5 \int \sin (x^{2}) d x$

ステップ 5.2

$\int \sin (x^{2}) d x$ は特殊な積分です。この積分はフレネル積分関数です。

$\sin (x) y = 5 (S (x) + C)$

ステップ 5.3

簡約します。

$\sin (x) y = 5 S (x) + C$

ステップ 6

$\sin (x) y = 5 S x + C$ の各項を $\sin (x)$ で割り、簡約します。

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ステップ 6.1

$\sin (x) y = 5 S x + C$ の各項を $\sin (x)$ で割ります。

$\frac{\sin (x) y}{\sin (x)} = \frac{5 S x}{\sin (x)} + \frac{C}{\sin (x)}$

ステップ 6.2

左辺を簡約します。

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ステップ 6.2.1

$\sin (x)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{\sin (x) y}{\sin (x)} = \frac{5 S x}{\sin (x)} + \frac{C}{\sin (x)}$

ステップ 6.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{5 S x}{\sin (x)} + \frac{C}{\sin (x)}$

ステップ 6.3

右辺を簡約します。

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ステップ 6.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 6.3.1.1

分数を分解します。

$y = \frac{5 S x}{\sin (x)} + \frac{C}{1} \cdot \frac{1}{\sin (x)}$

ステップ 6.3.1.2

$\frac{1}{\sin (x)}$ を $\csc (x)$ に変換します。

$y = \frac{5 S x}{\sin (x)} + \frac{C}{1} \csc (x)$

ステップ 6.3.1.3

$C$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{5 S x}{\sin (x)} + C \csc (x)$

微分積分 例

微分積分例