微分積分例

$\frac{d y}{d x} - \frac{1}{x} = x \cos (x)$

ステップ 1

変数を分けます。

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ステップ 1.1

方程式の両辺に $\frac{1}{x}$ を足します。

$\frac{d y}{d x} = x \cos (x) + \frac{1}{x}$

ステップ 1.2

方程式を書き換えます。

$d y = (x \cos (x) + \frac{1}{x}) d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int d y = \int x \cos (x) + \frac{1}{x} d x$

ステップ 2.2

定数の法則を当てはめます。

$y + C_{1} = \int x \cos (x) + \frac{1}{x} d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

単一積分を複数積分に分割します。

$y + C_{1} = \int x \cos (x) d x + \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 2.3.2

$u = x$ と $d v = \cos (x)$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$y + C_{1} = x \sin (x) - \int \sin (x) d x + \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 2.3.3

$\sin (x)$ の $x$ に関する積分は $- \cos (x)$ です。

$y + C_{1} = x \sin (x) - (- \cos (x) + C_{2}) + \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 2.3.4

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$y + C_{1} = x \sin (x) - (- \cos (x) + C_{2}) + \ln (| x |) + C_{3}$

ステップ 2.3.5

簡約します。

$y + C_{1} = x \sin (x) + \cos (x) + \ln (| x |) + C_{4}$

ステップ 2.3.6

項を並べ替えます。

$y + C_{1} = x \sin (x) + \ln (| x |) + \cos (x) + C_{4}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$y = x \sin (x) + \ln (| x |) + \cos (x) + C$

微分積分 例