微分積分例

$\frac{d v}{d t} = \frac{3}{t \sqrt{t^{2} - 1}}$ , $v (2) = 0$

ステップ 1

方程式を書き換えます。

$d v = \frac{3}{t \sqrt{t^{2} - 1}} d t$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int d v = \int \frac{3}{t \sqrt{t^{2} - 1}} d t$

ステップ 2.2

定数の法則を当てはめます。

$v + C_{1} = \int \frac{3}{t \sqrt{t^{2} - 1}} d t$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

$3$ は $t$ に対して定数なので、 $3$ を積分の外に移動させます。

$v + C_{1} = 3 \int \frac{1}{t \sqrt{t^{2} - 1}} d t$

ステップ 2.3.2

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$v + C_{1} = 3 \int \frac{1}{t \sqrt{t^{2} - 1^{2}}} d t$

ステップ 2.3.3

$\frac{1}{t \sqrt{t^{2} - 1^{2}}}$ の $t$ に関する積分は $arcsec (| t |)$ である

$v + C_{1} = 3 (arcsec (| t |) + C_{2})$

ステップ 2.3.4

簡約します。

$v + C_{1} = 3 arcsec (| t |) + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$v = 3 arcsec (| t |) + K$

ステップ 3

初期条件を利用し、 $v = 3 arcsec (| t |) + K$ の $2$ を $t$ に、 $0$ を $v$ に代入し $K$ の値を求めます。

$0 = 3 arcsec (| 2 |) + K$

ステップ 4

$K$ について解きます。

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ステップ 4.1

方程式を $3 arcsec (| 2 |) + K = 0$ として書き換えます。

$3 arcsec (| 2 |) + K = 0$

ステップ 4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 4.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.2.1.1

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $2$ の間の距離は $2$ です。

$3 arcsec (2) + K = 0$

ステップ 4.2.1.2

$arcsec (2)$ の厳密値は $\frac{π}{3}$ です。

$3 \frac{π}{3} + K = 0$

ステップ 4.2.1.3

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.1.3.1

共通因数を約分します。

$3 \frac{π}{3} + K = 0$

ステップ 4.2.1.3.2

式を書き換えます。

$π + K = 0$

ステップ 4.3

方程式の両辺から $π$ を引きます。

$K = - π$

ステップ 5

$- π$ を $v = 3 arcsec (| t |) + K$ の中の $K$ に代入し簡約します。

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ステップ 5.1

$- π$ を $K$ に代入します。

$v = 3 arcsec (| t |) - π$

微分積分 例

微分積分例