微分積分例

$x \frac{d y}{d x} - 4 y = 5 x^{4} e^{x}$

ステップ 1

微分方程式を $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ として書き換えます。

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ステップ 1.1

$x \frac{d y}{d x} - 4 y = 5 x^{4} e^{x}$ の各項を $x$ で割ります。

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{- 4 y}{x} = \frac{5 x^{4} e^{x}}{x}$

ステップ 1.2

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{- 4 y}{x} = \frac{5 x^{4} e^{x}}{x}$

ステップ 1.2.2

$\frac{d y}{d x}$ を $1$ で割ります。

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 4 y}{x} = \frac{5 x^{4} e^{x}}{x}$

ステップ 1.3

$x^{4}$ と $x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.3.1

$x$ を $5 x^{4} e^{x}$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 4 y}{x} = \frac{x (5 x^{3} e^{x})}{x}$

ステップ 1.3.2

共通因数を約分します。

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ステップ 1.3.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 4 y}{x} = \frac{x (5 x^{3} e^{x})}{x^{1}}$

ステップ 1.3.2.2

$x$ を $x^{1}$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 4 y}{x} = \frac{x (5 x^{3} e^{x})}{x \cdot 1}$

ステップ 1.3.2.3

共通因数を約分します。

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 4 y}{x} = \frac{x (5 x^{3} e^{x})}{x \cdot 1}$

ステップ 1.3.2.4

式を書き換えます。

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 4 y}{x} = \frac{5 x^{3} e^{x}}{1}$

ステップ 1.3.2.5

$5 x^{3} e^{x}$ を $1$ で割ります。

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 4 y}{x} = 5 x^{3} e^{x}$

ステップ 1.4

$y$ を $\frac{- 4 y}{x}$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} + y \frac{- 4}{x} = 5 x^{3} e^{x}$

ステップ 1.5

$y$ と $\frac{- 4}{x}$ を並べ替えます。

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 4}{x} y = 5 x^{3} e^{x}$

ステップ 2

$P (x) = \frac{- 4}{x}$ のとき、積分因数は公式 $e^{\int P (x) d x}$ で定義されます。

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ステップ 2.1

積分を設定します。

$e^{\int \frac{- 4}{x} d x}$

ステップ 2.2

$\frac{- 4}{x}$ を積分します。

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ステップ 2.2.1

分数を複数の分数に分割します。

$e^{\int - \frac{4}{x} d x}$

ステップ 2.2.2

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$e^{- \int \frac{4}{x} d x}$

ステップ 2.2.3

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $4$ を積分の外に移動させます。

$e^{- (4 \int \frac{1}{x} d x)}$

ステップ 2.2.4

$4$ に $- 1$ をかけます。

$e^{- 4 \int \frac{1}{x} d x}$

ステップ 2.2.5

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$e^{- 4 (\ln (| x |) + C)}$

ステップ 2.2.6

簡約します。

$e^{- 4 \ln (| x |) + C}$

ステップ 2.3

積分定数を削除します。

$e^{- 4 \ln (x)}$

ステップ 2.4

対数のべき乗則を利用します。

$e^{\ln (x^{- 4})}$

ステップ 2.5

指数関数と対数関数は逆関数です。

$x^{- 4}$

ステップ 2.6

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$\frac{1}{x^{4}}$

ステップ 3

各項に積分因数 $\frac{1}{x^{4}}$ を掛けます。

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ステップ 3.1

各項に $\frac{1}{x^{4}}$ を掛けます。

$\frac{1}{x^{4}} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x^{4}} (\frac{- 4}{x} y) = \frac{1}{x^{4}} (5 x^{3} e^{x})$

ステップ 3.2

各項を簡約します。

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ステップ 3.2.1

$\frac{1}{x^{4}}$ と $\frac{d y}{d x}$ をまとめます。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{4}} + \frac{1}{x^{4}} (\frac{- 4}{x} y) = \frac{1}{x^{4}} (5 x^{3} e^{x})$

ステップ 3.2.2

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{4}} + \frac{1}{x^{4}} (- \frac{4}{x} y) = \frac{1}{x^{4}} (5 x^{3} e^{x})$

ステップ 3.2.3

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{4}} - \frac{1}{x^{4}} (\frac{4}{x} y) = \frac{1}{x^{4}} (5 x^{3} e^{x})$

ステップ 3.2.4

$\frac{4}{x}$ と $y$ をまとめます。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{4}} - \frac{1}{x^{4}} \cdot \frac{4 y}{x} = \frac{1}{x^{4}} (5 x^{3} e^{x})$

ステップ 3.2.5

$- \frac{1}{x^{4}} \cdot \frac{4 y}{x}$ を掛けます。

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ステップ 3.2.5.1

$\frac{4 y}{x}$ に $\frac{1}{x^{4}}$ をかけます。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{4}} - \frac{4 y}{x \cdot x^{4}} = \frac{1}{x^{4}} (5 x^{3} e^{x})$

ステップ 3.2.5.2

指数を足して $x$ に $x^{4}$ を掛けます。

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ステップ 3.2.5.2.1

$x$ に $x^{4}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.5.2.1.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{4}} - \frac{4 y}{x^{1} x^{4}} = \frac{1}{x^{4}} (5 x^{3} e^{x})$

ステップ 3.2.5.2.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{4}} - \frac{4 y}{x^{1 + 4}} = \frac{1}{x^{4}} (5 x^{3} e^{x})$

ステップ 3.2.5.2.2

$1$ と $4$ をたし算します。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{4}} - \frac{4 y}{x^{5}} = \frac{1}{x^{4}} (5 x^{3} e^{x})$

ステップ 3.3

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{4}} - \frac{4 y}{x^{5}} = 5 \frac{1}{x^{4}} (x^{3} e^{x})$

ステップ 3.4

$5$ と $\frac{1}{x^{4}}$ をまとめます。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{4}} - \frac{4 y}{x^{5}} = \frac{5}{x^{4}} (x^{3} e^{x})$

ステップ 3.5

$x^{3}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.5.1

$x^{3}$ を $x^{4}$ で因数分解します。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{4}} - \frac{4 y}{x^{5}} = \frac{5}{x^{3} x} (x^{3} e^{x})$

ステップ 3.5.2

$x^{3}$ を $x^{3} e^{x}$ で因数分解します。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{4}} - \frac{4 y}{x^{5}} = \frac{5}{x^{3} x} (x^{3} (e^{x}))$

ステップ 3.5.3

共通因数を約分します。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{4}} - \frac{4 y}{x^{5}} = \frac{5}{x^{3} x} (x^{3} e^{x})$

ステップ 3.5.4

式を書き換えます。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{4}} - \frac{4 y}{x^{5}} = \frac{5}{x} e^{x}$

ステップ 3.6

$\frac{5}{x}$ と $e^{x}$ をまとめます。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{4}} - \frac{4 y}{x^{5}} = \frac{5 e^{x}}{x}$

ステップ 4

左辺を積を微分した結果として書き換えます。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}} y] = \frac{5 e^{x}}{x}$

ステップ 5

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}} y] d x = \int \frac{5 e^{x}}{x} d x$

ステップ 6

左辺を積分します。

$\frac{1}{x^{4}} y = \int \frac{5 e^{x}}{x} d x$

ステップ 7

右辺を積分します。

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ステップ 7.1

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $5$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{x^{4}} y = 5 \int \frac{e^{x}}{x} d x$

ステップ 7.2

$\int \frac{e^{x}}{x} d x$ は特殊な積分です。この積分は指数積分関数です。

$\frac{1}{x^{4}} y = 5 (E i (x) + C)$

ステップ 7.3

簡約します。

$\frac{1}{x^{4}} y = 5 E i (x) + C$

ステップ 8

$y$ について解きます。

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ステップ 8.1

$\frac{1}{x^{4}}$ と $y$ をまとめます。

$\frac{y}{x^{4}} = 5 E i x + C$

ステップ 8.2

両辺に $x^{4}$ を掛けます。

$\frac{y}{x^{4}} x^{4} = (5 E i x + C) x^{4}$

ステップ 8.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1.1

$x^{4}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y}{x^{4}} x^{4} = (5 E i x + C) x^{4}$

ステップ 8.3.1.1.2

式を書き換えます。

$y = (5 E i x + C) x^{4}$

ステップ 8.3.2

右辺を簡約します。

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ステップ 8.3.2.1

$(5 E i x + C) x^{4}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.2.1.1

分配則を当てはめます。

$y = 5 E i x \cdot x^{4} + C x^{4}$

ステップ 8.3.2.1.2

指数を足して $x$ に $x^{4}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.2.1.2.1

$x^{4}$ を移動させます。

$y = 5 E i (x^{4} x) + C x^{4}$

ステップ 8.3.2.1.2.2

$x^{4}$ に $x$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.2.1.2.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$y = 5 E i (x^{4} x^{1}) + C x^{4}$

ステップ 8.3.2.1.2.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$y = 5 E i x^{4 + 1} + C x^{4}$

ステップ 8.3.2.1.2.3

$4$ と $1$ をたし算します。

$y = 5 E i x^{5} + C x^{4}$

ステップ 8.3.2.1.3

$i$ を移動させます。

$y = 5 E x^{5} i + C x^{4}$

ステップ 8.3.2.1.4

$E$ を移動させます。

$y = 5 x^{5} E i + C x^{4}$

微分積分 例

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