微分積分例

$\frac{d y}{d x} = 2 x e^{- x}$

ステップ 1

方程式を書き換えます。

$d y = 2 x e^{- x} d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int d y = \int 2 x e^{- x} d x$

ステップ 2.2

定数の法則を当てはめます。

$y + C_{1} = \int 2 x e^{- x} d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$y + C_{1} = 2 \int x e^{- x} d x$

ステップ 2.3.2

$u = x$ と $d v = e^{- x}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$y + C_{1} = 2 (x (- e^{- x}) - \int - e^{- x} d x)$

ステップ 2.3.3

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$y + C_{1} = 2 (x (- e^{- x}) - - \int e^{- x} d x)$

ステップ 2.3.4

簡約します。

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ステップ 2.3.4.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$y + C_{1} = 2 (x (- e^{- x}) + 1 \int e^{- x} d x)$

ステップ 2.3.4.2

$\int e^{- x} d x$ に $1$ をかけます。

$y + C_{1} = 2 (x (- e^{- x}) + \int e^{- x} d x)$

ステップ 2.3.5

$u = - x$ とします。次に $d u = - d x$ すると、 $- d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.3.5.1

$u = - x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 2.3.5.1.1

$- x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 2.3.5.1.2

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.3.5.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 1 \cdot 1$

ステップ 2.3.5.1.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- 1$

ステップ 2.3.5.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$y + C_{1} = 2 (x (- e^{- x}) + \int - e^{u} d u)$

ステップ 2.3.6

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$y + C_{1} = 2 (x (- e^{- x}) - \int e^{u} d u)$

ステップ 2.3.7

$e^{u}$ の $u$ に関する積分は $e^{u}$ です。

$y + C_{1} = 2 (x (- e^{- x}) - (e^{u} + C_{2}))$

ステップ 2.3.8

$2 (x (- e^{- x}) - (e^{u} + C_{2}))$ を $2 (- x e^{- x} - e^{u}) + C_{2}$ に書き換えます。

$y + C_{1} = 2 (- x e^{- x} - e^{u}) + C_{2}$

ステップ 2.3.9

$u$ のすべての発生を $- x$ で置き換えます。

$y + C_{1} = 2 (- x e^{- x} - e^{- x}) + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$y = 2 (- x e^{- x} - e^{- x}) + K$

微分積分 例

微分積分例