微分積分例

$\frac{d x}{d t} = 4 e^{t} - 6$ ; , $x (0) = 2$

ステップ 1

方程式を書き換えます。

$d x = (4 e^{t} - 6) d t$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int d x = \int 4 e^{t} - 6 d t$

ステップ 2.2

定数の法則を当てはめます。

$x + C_{1} = \int 4 e^{t} - 6 d t$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

単一積分を複数積分に分割します。

$x + C_{1} = \int 4 e^{t} d t + \int - 6 d t$

ステップ 2.3.2

$4$ は $t$ に対して定数なので、 $4$ を積分の外に移動させます。

$x + C_{1} = 4 \int e^{t} d t + \int - 6 d t$

ステップ 2.3.3

$e^{t}$ の $t$ に関する積分は $e^{t}$ です。

$x + C_{1} = 4 (e^{t} + C_{2}) + \int - 6 d t$

ステップ 2.3.4

定数の法則を当てはめます。

$x + C_{1} = 4 (e^{t} + C_{2}) - 6 t + C_{3}$

ステップ 2.3.5

簡約します。

$x + C_{1} = 4 e^{t} - 6 t + C_{4}$

ステップ 2.3.6

項を並べ替えます。

$x + C_{1} = - 6 t + 4 e^{t} + C_{4}$

$x + C_{1} = - 6 t + 4 e^{t} + C_{4}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$x = - 6 t + 4 e^{t} + K$

$x = - 6 t + 4 e^{t} + K$

ステップ 3

初期条件を利用し、 $x = - 6 t + 4 e^{t} + K$ の $0$ を $t$ に、 $2$ を $x$ に代入し $K$ の値を求めます。

$2 = - 6 \cdot 0 + 4 e^{0} + K$

ステップ 4

$K$ について解きます。

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ステップ 4.1

方程式を $- 6 \cdot 0 + 4 e^{0} + K = 2$ として書き換えます。

$- 6 \cdot 0 + 4 e^{0} + K = 2$

ステップ 4.2

$- 6 \cdot 0 + 4 e^{0} + K$ を簡約します。

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ステップ 4.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.2.1.1

$- 6$ に $0$ をかけます。

$0 + 4 e^{0} + K = 2$

ステップ 4.2.1.2

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$0 + 4 \cdot 1 + K = 2$

ステップ 4.2.1.3

$4$ に $1$ をかけます。

$0 + 4 + K = 2$

$0 + 4 + K = 2$

ステップ 4.2.2

$0$ と $4$ をたし算します。

$4 + K = 2$

$4 + K = 2$

ステップ 4.3

$K$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 4.3.1

方程式の両辺から $4$ を引きます。

$K = 2 - 4$

ステップ 4.3.2

$2$ から $4$ を引きます。

$K = - 2$

$K = - 2$

$K = - 2$

ステップ 5

$- 2$ を $x = - 6 t + 4 e^{t} + K$ の中の $K$ に代入し簡約します。

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ステップ 5.1

$- 2$ を $K$ に代入します。

$x = - 6 t + 4 e^{t} - 2$

$x = - 6 t + 4 e^{t} - 2$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$