微分積分例

$\frac{d y}{d x} = x - \sin (x)$ , $y (π) = 3$

ステップ 1

方程式を書き換えます。

$d y = (x - \sin (x)) d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int d y = \int x - \sin (x) d x$

ステップ 2.2

定数の法則を当てはめます。

$y + C_{1} = \int x - \sin (x) d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

単一積分を複数積分に分割します。

$y + C_{1} = \int x d x + \int - \sin (x) d x$

ステップ 2.3.2

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$y + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2} + \int - \sin (x) d x$

ステップ 2.3.3

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$y + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2} - \int \sin (x) d x$

ステップ 2.3.4

$\sin (x)$ の $x$ に関する積分は $- \cos (x)$ です。

$y + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2} - (- \cos (x) + C_{3})$

ステップ 2.3.5

簡約します。

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ステップ 2.3.5.1

簡約します。

$y + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} - - \cos (x) + C_{4}$

ステップ 2.3.5.2

簡約します。

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ステップ 2.3.5.2.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$y + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + 1 \cos (x) + C_{4}$

ステップ 2.3.5.2.2

$\cos (x)$ に $1$ をかけます。

$y + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + \cos (x) + C_{4}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$y = \frac{1}{2} x^{2} + \cos (x) + K$

ステップ 3

初期条件を利用し、 $y = \frac{1}{2} x^{2} + \cos (x) + K$ の $π$ を $x$ に、 $3$ を $y$ に代入し $K$ の値を求めます。

$3 = \frac{1}{2} π^{2} + \cos (π) + K$

ステップ 4

$K$ について解きます。

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ステップ 4.1

方程式を $\frac{1}{2} \cdot π^{2} + \cos (π) + K = 3$ として書き換えます。

$\frac{1}{2} \cdot π^{2} + \cos (π) + K = 3$

ステップ 4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 4.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.2.1.1

$\frac{1}{2}$ と $π^{2}$ をまとめます。

$\frac{π^{2}}{2} + \cos (π) + K = 3$

ステップ 4.2.1.2

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。余弦は第二象限で負であるため、式を負にします。

$\frac{π^{2}}{2} - \cos (0) + K = 3$

ステップ 4.2.1.3

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$\frac{π^{2}}{2} - 1 \cdot 1 + K = 3$

ステップ 4.2.1.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{π^{2}}{2} - 1 + K = 3$

ステップ 4.3

$K$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 4.3.1

方程式の両辺から $\frac{π^{2}}{2}$ を引きます。

$- 1 + K = 3 - \frac{π^{2}}{2}$

ステップ 4.3.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$K = 3 - \frac{π^{2}}{2} + 1$

ステップ 4.3.3

$3$ と $1$ をたし算します。

$K = - \frac{π^{2}}{2} + 4$

ステップ 5

$- \frac{π^{2}}{2} + 4$ を $y = \frac{1}{2} x^{2} + \cos (x) + K$ の中の $K$ に代入し簡約します。

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ステップ 5.1

$- \frac{π^{2}}{2} + 4$ を $K$ に代入します。

$y = \frac{1}{2} x^{2} + \cos (x) - \frac{π^{2}}{2} + 4$

ステップ 5.2

$\frac{1}{2}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$y = \frac{x^{2}}{2} + \cos (x) - \frac{π^{2}}{2} + 4$

微分積分 例

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