微分積分例

$\frac{d y}{d x} = - \frac{1}{x^{2}} - \frac{3}{x^{4}} + 12$

ステップ 1

方程式を書き換えます。

$d y = (- \frac{1}{x^{2}} - \frac{3}{x^{4}} + 12) d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int d y = \int - \frac{1}{x^{2}} - \frac{3}{x^{4}} + 12 d x$

ステップ 2.2

定数の法則を当てはめます。

$y + C_{1} = \int - \frac{1}{x^{2}} - \frac{3}{x^{4}} + 12 d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

単一積分を複数積分に分割します。

$y + C_{1} = \int - \frac{1}{x^{2}} d x + \int - \frac{3}{x^{4}} d x + \int 12 d x$

ステップ 2.3.2

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$y + C_{1} = - \int \frac{1}{x^{2}} d x + \int - \frac{3}{x^{4}} d x + \int 12 d x$

ステップ 2.3.3

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 2.3.3.1

$x^{2}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$y + C_{1} = - \int {(x^{2})}^{- 1} d x + \int - \frac{3}{x^{4}} d x + \int 12 d x$

ステップ 2.3.3.2

${(x^{2})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.3.3.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$y + C_{1} = - \int x^{2 \cdot - 1} d x + \int - \frac{3}{x^{4}} d x + \int 12 d x$

ステップ 2.3.3.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$y + C_{1} = - \int x^{- 2} d x + \int - \frac{3}{x^{4}} d x + \int 12 d x$

ステップ 2.3.4

べき乗則では、 $x^{- 2}$ の $x$ に関する積分は $- x^{- 1}$ です。

$y + C_{1} = - (- x^{- 1} + C_{2}) + \int - \frac{3}{x^{4}} d x + \int 12 d x$

ステップ 2.3.5

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$y + C_{1} = - (- x^{- 1} + C_{2}) - \int \frac{3}{x^{4}} d x + \int 12 d x$

ステップ 2.3.6

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $3$ を積分の外に移動させます。

$y + C_{1} = - (- x^{- 1} + C_{2}) - (3 \int \frac{1}{x^{4}} d x) + \int 12 d x$

ステップ 2.3.7

式を簡約します。

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ステップ 2.3.7.1

$3$ に $- 1$ をかけます。

$y + C_{1} = - (- x^{- 1} + C_{2}) - 3 \int \frac{1}{x^{4}} d x + \int 12 d x$

ステップ 2.3.7.2

$x^{4}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$y + C_{1} = - (- x^{- 1} + C_{2}) - 3 \int {(x^{4})}^{- 1} d x + \int 12 d x$

ステップ 2.3.7.3

${(x^{4})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.3.7.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$y + C_{1} = - (- x^{- 1} + C_{2}) - 3 \int x^{4 \cdot - 1} d x + \int 12 d x$

ステップ 2.3.7.3.2

$4$ に $- 1$ をかけます。

$y + C_{1} = - (- x^{- 1} + C_{2}) - 3 \int x^{- 4} d x + \int 12 d x$

ステップ 2.3.8

べき乗則では、 $x^{- 4}$ の $x$ に関する積分は $- \frac{1}{3} x^{- 3}$ です。

$y + C_{1} = - (- x^{- 1} + C_{2}) - 3 (- \frac{1}{3} x^{- 3} + C_{3}) + \int 12 d x$

ステップ 2.3.9

簡約します。

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ステップ 2.3.9.1

$x^{- 3}$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$y + C_{1} = - (- x^{- 1} + C_{2}) - 3 (- \frac{x^{- 3}}{3} + C_{3}) + \int 12 d x$

ステップ 2.3.9.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- 3}$ を分母に移動させます。

$y + C_{1} = - (- x^{- 1} + C_{2}) - 3 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C_{3}) + \int 12 d x$

ステップ 2.3.10

定数の法則を当てはめます。

$y + C_{1} = - (- x^{- 1} + C_{2}) - 3 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C_{3}) + 12 x + C_{4}$

ステップ 2.3.11

簡約します。

$y + C_{1} = \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{3}} + 12 x + C_{5}$

ステップ 2.3.12

項を並べ替えます。

$y + C_{1} = 12 x + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{3}} + C_{5}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$y = 12 x + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{3}} + K$

微分積分 例

微分積分例