微分積分例

$x y d x + (1 + x) (1 - y) d y = 0$

ステップ 1

方程式の両辺から $x y d x$ を引きます。

$(1 + x) (1 - y) d y = - x y d x$

ステップ 2

両辺に $\frac{1}{(1 + x) y}$ を掛けます。

$\frac{1}{(1 + x) y} ((1 + x) (1 - y)) d y = \frac{1}{(1 + x) y} (- x y) d x$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

$1 + x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.1.1

$1 + x$ を $(1 + x) y$ で因数分解します。

$\frac{1}{(1 + x) (y)} ((1 + x) (1 - y)) d y = \frac{1}{(1 + x) y} (- x y) d x$

ステップ 3.1.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{(1 + x) y} ((1 + x) (1 - y)) d y = \frac{1}{(1 + x) y} (- x y) d x$

ステップ 3.1.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{y} (1 - y) d y = \frac{1}{(1 + x) y} (- x y) d x$

ステップ 3.2

$\frac{1}{y}$ に $1 - y$ をかけます。

$\frac{1 - y}{y} d y = \frac{1}{(1 + x) y} (- x y) d x$

ステップ 3.3

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{1 - y}{y} d y = - \frac{1}{(1 + x) y} (x y) d x$

ステップ 3.4

$y$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.4.1

$- \frac{1}{(1 + x) y}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{1 - y}{y} d y = \frac{- 1}{(1 + x) y} (x y) d x$

ステップ 3.4.2

$y$ を $(1 + x) y$ で因数分解します。

$\frac{1 - y}{y} d y = \frac{- 1}{y (1 + x)} (x y) d x$

ステップ 3.4.3

$y$ を $x y$ で因数分解します。

$\frac{1 - y}{y} d y = \frac{- 1}{y (1 + x)} (y x) d x$

ステップ 3.4.4

共通因数を約分します。

$\frac{1 - y}{y} d y = \frac{- 1}{y (1 + x)} (y x) d x$

ステップ 3.4.5

式を書き換えます。

$\frac{1 - y}{y} d y = \frac{- 1}{1 + x} x d x$

ステップ 3.5

$\frac{- 1}{1 + x}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{1 - y}{y} d y = \frac{- x}{1 + x} d x$

ステップ 3.6

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1 - y}{y} d y = - \frac{x}{1 + x} d x$

ステップ 4

両辺を積分します。

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ステップ 4.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{1 - y}{y} d y = \int - \frac{x}{1 + x} d x$

ステップ 4.2

左辺を積分します。

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ステップ 4.2.1

分数を複数の分数に分割します。

$\int \frac{1}{y} + \frac{- y}{y} d y = \int - \frac{x}{1 + x} d x$

ステップ 4.2.2

単一積分を複数積分に分割します。

$\int \frac{1}{y} d y + \int \frac{- y}{y} d y = \int - \frac{x}{1 + x} d x$

ステップ 4.2.3

$y$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.3.1

共通因数を約分します。

$\int \frac{1}{y} d y + \int \frac{- y}{y} d y = \int - \frac{x}{1 + x} d x$

ステップ 4.2.3.2

$- 1$ を $1$ で割ります。

$\int \frac{1}{y} d y + \int - 1 d y = \int - \frac{x}{1 + x} d x$

ステップ 4.2.4

$\frac{1}{y}$ の $y$ に関する積分は $\ln (| y |)$ です。

$\ln (| y |) + C_{1} + \int - 1 d y = \int - \frac{x}{1 + x} d x$

ステップ 4.2.5

定数の法則を当てはめます。

$\ln (| y |) + C_{1} - y + C_{2} = \int - \frac{x}{1 + x} d x$

ステップ 4.2.6

簡約します。

$\ln (| y |) - y + C_{3} = \int - \frac{x}{1 + x} d x$

ステップ 4.2.7

項を並べ替えます。

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = \int - \frac{x}{1 + x} d x$

ステップ 4.3

右辺を積分します。

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ステップ 4.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - \int \frac{x}{1 + x} d x$

ステップ 4.3.2

$1$ と $x$ を並べ替えます。

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - \int \frac{x}{x + 1} d x$

ステップ 4.3.3

$x$ を $x + 1$ で割ります。

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ステップ 4.3.3.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$x$

$1$

$x$

$0$

ステップ 4.3.3.2

被除数 $x$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

					$1$
	$x$	+	$1$		$x$	+	$0$

ステップ 4.3.3.3

新しい商の項に除数を掛けます。

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			+	$x$	+	$1$

ステップ 4.3.3.4

式は被除数から引く必要があるので、 $x + 1$ の符号をすべて変更します。

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$1$

ステップ 4.3.3.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$1$
					-	$1$

ステップ 4.3.3.6

最終的な答えは商と除数の余りを足したものです。

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - \int 1 - \frac{1}{x + 1} d x$

ステップ 4.3.4

単一積分を複数積分に分割します。

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - (\int d x + \int - \frac{1}{x + 1} d x)$

ステップ 4.3.5

定数の法則を当てはめます。

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - (x + C_{4} + \int - \frac{1}{x + 1} d x)$

ステップ 4.3.6

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - (x + C_{4} - \int \frac{1}{x + 1} d x)$

ステップ 4.3.7

$u = x + 1$ とします。次に $d u = d x$ 。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 4.3.7.1

$u = x + 1$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 4.3.7.1.1

$x + 1$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

ステップ 4.3.7.1.2

総和則では、 $x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 4.3.7.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 4.3.7.1.4

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 4.3.7.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 4.3.7.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - (x + C_{4} - \int \frac{1}{u} d u)$

ステップ 4.3.8

$\frac{1}{u}$ の $u$ に関する積分は $\ln (| u |)$ です。

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - (x + C_{4} - (\ln (| u |) + C_{5}))$

ステップ 4.3.9

簡約します。

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - (x - \ln (| u |)) + C_{6}$

ステップ 4.3.10

$u$ のすべての発生を $x + 1$ で置き換えます。

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - (x - \ln (| x + 1 |)) + C_{6}$

ステップ 4.3.11

簡約します。

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ステップ 4.3.11.1

分配則を当てはめます。

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - x - - \ln (| x + 1 |) + C_{6}$

ステップ 4.3.11.2

$- - \ln (| x + 1 |)$ を掛けます。

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ステップ 4.3.11.2.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - x + 1 \ln (| x + 1 |) + C_{6}$

ステップ 4.3.11.2.2

$\ln (| x + 1 |)$ に $1$ をかけます。

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - x + \ln (| x + 1 |) + C_{6}$

ステップ 4.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$- y + \ln (| y |) = - x + \ln (| x + 1 |) + C$

微分積分 例

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