微分積分例

$2 \frac{d y}{d x} = 4 x e^{- x}$ , $y (0) = 5$

ステップ 1

方程式を書き換えます。

$2 d y = 4 x e^{- x} d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int 2 d y = \int 4 x e^{- x} d x$

ステップ 2.2

定数の法則を当てはめます。

$2 y + C_{1} = \int 4 x e^{- x} d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $4$ を積分の外に移動させます。

$2 y + C_{1} = 4 \int x e^{- x} d x$

ステップ 2.3.2

$u = x$ と $d v = e^{- x}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$2 y + C_{1} = 4 (x (- e^{- x}) - \int - e^{- x} d x)$

ステップ 2.3.3

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$2 y + C_{1} = 4 (x (- e^{- x}) - - \int e^{- x} d x)$

ステップ 2.3.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.4.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$2 y + C_{1} = 4 (x (- e^{- x}) + 1 \int e^{- x} d x)$

ステップ 2.3.4.2

$\int e^{- x} d x$ に $1$ をかけます。

$2 y + C_{1} = 4 (x (- e^{- x}) + \int e^{- x} d x)$

ステップ 2.3.5

$u = - x$ とします。次に $d u = - d x$ すると、 $- d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.5.1

$u = - x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.5.1.1

$- x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 2.3.5.1.2

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.3.5.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 1 \cdot 1$

ステップ 2.3.5.1.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- 1$

ステップ 2.3.5.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$2 y + C_{1} = 4 (x (- e^{- x}) + \int - e^{u} d u)$

ステップ 2.3.6

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$2 y + C_{1} = 4 (x (- e^{- x}) - \int e^{u} d u)$

ステップ 2.3.7

$e^{u}$ の $u$ に関する積分は $e^{u}$ です。

$2 y + C_{1} = 4 (x (- e^{- x}) - (e^{u} + C_{2}))$

ステップ 2.3.8

$4 (x (- e^{- x}) - (e^{u} + C_{2}))$ を $4 (- x e^{- x} - e^{u}) + C_{2}$ に書き換えます。

$2 y + C_{1} = 4 (- x e^{- x} - e^{u}) + C_{2}$

ステップ 2.3.9

$u$ のすべての発生を $- x$ で置き換えます。

$2 y + C_{1} = 4 (- x e^{- x} - e^{- x}) + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$2 y = 4 (- x e^{- x} - e^{- x}) + K$

ステップ 3

$2 y = 4 (- x e^{- x} - e^{- x}) + K$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$2 y = 4 (- x e^{- x} - e^{- x}) + K$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 y}{2} = \frac{4 (- x e^{- x} - e^{- x})}{2} + \frac{K}{2}$

ステップ 3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 y}{2} = \frac{4 (- x e^{- x} - e^{- x})}{2} + \frac{K}{2}$

ステップ 3.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{4 (- x e^{- x} - e^{- x})}{2} + \frac{K}{2}$

ステップ 3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

公分母の分子をまとめます。

$y = \frac{4 (- x e^{- x} - e^{- x}) + K}{2}$

ステップ 3.3.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1

分配則を当てはめます。

$y = \frac{4 (- x e^{- x}) + 4 (- e^{- x}) + K}{2}$

ステップ 3.3.2.2

$- 1$ に $4$ をかけます。

$y = \frac{- 4 (x e^{- x}) + 4 (- e^{- x}) + K}{2}$

ステップ 3.3.2.3

$- 1$ に $4$ をかけます。

$y = \frac{- 4 x e^{- x} - 4 e^{- x} + K}{2}$

ステップ 3.3.3

くくりだして簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.1

$- 1$ を $- 4 x e^{- x}$ で因数分解します。

$y = \frac{- (4 x e^{- x}) - 4 e^{- x} + K}{2}$

ステップ 3.3.3.2

$- 1$ を $- 4 e^{- x}$ で因数分解します。

$y = \frac{- (4 x e^{- x}) - (4 e^{- x}) + K}{2}$

ステップ 3.3.3.3

$- 1$ を $- (4 x e^{- x}) - (4 e^{- x})$ で因数分解します。

$y = \frac{- (4 x e^{- x} + 4 e^{- x}) + K}{2}$

ステップ 3.3.3.4

$- 1$ を $K$ で因数分解します。

$y = \frac{- (4 x e^{- x} + 4 e^{- x}) - 1 (- K)}{2}$

ステップ 3.3.3.5

$- 1$ を $- (4 x e^{- x} + 4 e^{- x}) - 1 (- K)$ で因数分解します。

$y = \frac{- (4 x e^{- x} + 4 e^{- x} - K)}{2}$

ステップ 3.3.3.6

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.6.1

$- (4 x e^{- x} + 4 e^{- x} - K)$ を $- 1 (4 x e^{- x} + 4 e^{- x} - K)$ に書き換えます。

$y = \frac{- 1 (4 x e^{- x} + 4 e^{- x} - K)}{2}$

ステップ 3.3.3.6.2

分数の前に負数を移動させます。

$y = - \frac{4 x e^{- x} + 4 e^{- x} - K}{2}$

ステップ 4

積分定数を簡約します。

$y = - \frac{4 x e^{- x} + 4 e^{- x} + K}{2}$

ステップ 5

初期条件を利用し、 $y = - \frac{4 x e^{- x} + 4 e^{- x} + K}{2}$ の $0$ を $x$ に、 $5$ を $y$ に代入し $K$ の値を求めます。

$5 = - \frac{4 \cdot 0 e^{- 0} + 4 e^{0} + K}{2}$

ステップ 6

$K$ について解きます。

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ステップ 6.1

方程式を $- \frac{4 \cdot (0 e^{- 0}) + 4 e^{0} + K}{2} = 5$ として書き換えます。

$- \frac{4 \cdot (0 e^{- 0}) + 4 e^{0} + K}{2} = 5$

ステップ 6.2

方程式の両辺に $- 2$ を掛けます。

$- 2 (- \frac{4 \cdot (0 e^{- 0}) + 4 e^{0} + K}{2}) = - 2 \cdot 5$

ステップ 6.3

方程式の両辺を簡約します。

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ステップ 6.3.1

左辺を簡約します。

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ステップ 6.3.1.1

$- 2 (- \frac{4 \cdot (0 e^{- 0}) + 4 e^{0} + K}{2})$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1.1.1

今日数因数で約分することで式を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1.1.1.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1.1.1.1.1

$- \frac{4 \cdot (0 e^{- 0}) + 4 e^{0} + K}{2}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$- 2 \frac{- (4 \cdot (0 e^{- 0}) + 4 e^{0} + K)}{2} = - 2 \cdot 5$

ステップ 6.3.1.1.1.1.2

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$2 (- 1) \frac{- (4 \cdot (0 e^{- 0}) + 4 e^{0} + K)}{2} = - 2 \cdot 5$

ステップ 6.3.1.1.1.1.3

共通因数を約分します。

$2 \cdot - 1 \frac{- (4 \cdot (0 e^{- 0}) + 4 e^{0} + K)}{2} = - 2 \cdot 5$

ステップ 6.3.1.1.1.1.4

式を書き換えます。

$- - (4 \cdot (0 e^{- 0}) + 4 e^{0} + K) = - 2 \cdot 5$

ステップ 6.3.1.1.1.2

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1.1.1.2.1

$- 1$ に $0$ をかけます。

$- - (4 \cdot (0 e^{0}) + 4 e^{0} + K) = - 2 \cdot 5$

ステップ 6.3.1.1.1.2.2

0を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1.1.1.2.2.1

$0$ に $e^{0}$ をかけます。

$- - (4 \cdot 0 + 4 e^{0} + K) = - 2 \cdot 5$

ステップ 6.3.1.1.1.2.2.2

$4$ に $0$ をかけます。

$- - (0 + 4 e^{0} + K) = - 2 \cdot 5$

ステップ 6.3.1.1.1.2.3

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$1 (0 + 4 e^{0} + K) = - 2 \cdot 5$

ステップ 6.3.1.1.1.2.4

$0 + 4 e^{0} + K$ に $1$ をかけます。

$0 + 4 e^{0} + K = - 2 \cdot 5$

ステップ 6.3.1.1.1.2.5

$0$ と $4 e^{0}$ をたし算します。

$4 e^{0} + K = - 2 \cdot 5$

ステップ 6.3.1.1.2

各項を簡約します。

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ステップ 6.3.1.1.2.1

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$4 \cdot 1 + K = - 2 \cdot 5$

ステップ 6.3.1.1.2.2

$4$ に $1$ をかけます。

$4 + K = - 2 \cdot 5$

ステップ 6.3.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.1

$- 2$ に $5$ をかけます。

$4 + K = - 10$

ステップ 6.4

$K$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.1

方程式の両辺から $4$ を引きます。

$K = - 10 - 4$

ステップ 6.4.2

$- 10$ から $4$ を引きます。

$K = - 14$

ステップ 7

$- 14$ を $y = - \frac{4 x e^{- x} + 4 e^{- x} + K}{2}$ の中の $K$ に代入し簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

$- 14$ を $K$ に代入します。

$y = - \frac{4 x e^{- x} + 4 e^{- x} - 14}{2}$

ステップ 7.2

$4 x e^{- x} + 4 e^{- x} - 14$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

$2$ を $4 x e^{- x}$ で因数分解します。

$y = - \frac{2 (2 x e^{- x}) + 4 e^{- x} - 14}{2}$

ステップ 7.2.2

$2$ を $4 e^{- x}$ で因数分解します。

$y = - \frac{2 (2 x e^{- x}) + 2 (2 e^{- x}) - 14}{2}$

ステップ 7.2.3

$2$ を $2 (2 x e^{- x}) + 2 (2 e^{- x})$ で因数分解します。

$y = - \frac{2 (2 x e^{- x} + 2 e^{- x}) - 14}{2}$

ステップ 7.2.4

$2$ を $- 14$ で因数分解します。

$y = - \frac{2 (2 x e^{- x} + 2 e^{- x}) + 2 \cdot - 7}{2}$

ステップ 7.2.5

$2$ を $2 (2 x e^{- x} + 2 e^{- x}) + 2 (- 7)$ で因数分解します。

$y = - \frac{2 (2 x e^{- x} + 2 e^{- x} - 7)}{2}$

ステップ 7.2.6

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.6.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$y = - \frac{2 (2 x e^{- x} + 2 e^{- x} - 7)}{2 (1)}$

ステップ 7.2.6.2

共通因数を約分します。

$y = - \frac{2 (2 x e^{- x} + 2 e^{- x} - 7)}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.2.6.3

式を書き換えます。

$y = - \frac{2 x e^{- x} + 2 e^{- x} - 7}{1}$

ステップ 7.2.6.4

$2 x e^{- x} + 2 e^{- x} - 7$ を $1$ で割ります。

$y = - (2 x e^{- x} + 2 e^{- x} - 7)$

ステップ 7.3

分配則を当てはめます。

$y = - (2 x e^{- x}) - (2 e^{- x}) - - 7$

ステップ 7.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.4.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$y = - 2 (x e^{- x}) - (2 e^{- x}) - - 7$

ステップ 7.4.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$y = - 2 (x e^{- x}) - 2 e^{- x} - - 7$

ステップ 7.4.3

$- 1$ に $- 7$ をかけます。

$y = - 2 (x e^{- x}) - 2 e^{- x} + 7$

$y = - 2 x e^{- x} - 2 e^{- x} + 7$

微分積分 例

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