微分積分例

$\frac{d y}{d x} + \frac{y}{x} = 3 x$

ステップ 1

微分方程式を $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ として書き換えます。

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ステップ 1.1

$y$ を $\frac{y}{x}$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} + y \frac{1}{x} = 3 x$

ステップ 1.2

$y$ と $\frac{1}{x}$ を並べ替えます。

$\frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} y = 3 x$

ステップ 2

$P (x) = \frac{1}{x}$ のとき、積分因数は公式 $e^{\int P (x) d x}$ で定義されます。

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ステップ 2.1

積分を設定します。

$e^{\int \frac{1}{x} d x}$

ステップ 2.2

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$e^{\ln (| x |) + C}$

ステップ 2.3

積分定数を削除します。

$e^{\ln (x)}$

ステップ 2.4

指数関数と対数関数は逆関数です。

$x$

ステップ 3

各項に積分因数 $x$ を掛けます。

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ステップ 3.1

各項に $x$ を掛けます。

$x \frac{d y}{d x} + x (\frac{1}{x} y) = x (3 x)$

ステップ 3.2

各項を簡約します。

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ステップ 3.2.1

$\frac{1}{x}$ と $y$ をまとめます。

$x \frac{d y}{d x} + x \frac{y}{x} = x (3 x)$

ステップ 3.2.2

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.2.1

共通因数を約分します。

$x \frac{d y}{d x} + x \frac{y}{x} = x (3 x)$

ステップ 3.2.2.2

式を書き換えます。

$x \frac{d y}{d x} + y = x (3 x)$

ステップ 3.3

積の可換性を利用して書き換えます。

$x \frac{d y}{d x} + y = 3 x \cdot x$

ステップ 3.4

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 3.4.1

$x$ を移動させます。

$x \frac{d y}{d x} + y = 3 (x \cdot x)$

ステップ 3.4.2

$x$ に $x$ をかけます。

$x \frac{d y}{d x} + y = 3 x^{2}$

ステップ 4

左辺を積を微分した結果として書き換えます。

$\frac{d}{d x} [x y] = 3 x^{2}$

ステップ 5

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{d}{d x} [x y] d x = \int 3 x^{2} d x$

ステップ 6

左辺を積分します。

$x y = \int 3 x^{2} d x$

ステップ 7

右辺を積分します。

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ステップ 7.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $3$ を積分の外に移動させます。

$x y = 3 \int x^{2} d x$

ステップ 7.2

べき乗則では、 $x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{3} x^{3}$ です。

$x y = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

ステップ 7.3

答えを簡約します。

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ステップ 7.3.1

$3 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$ を $3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C$ に書き換えます。

$x y = 3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C$

ステップ 7.3.2

簡約します。

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ステップ 7.3.2.1

$3$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$x y = \frac{3}{3} x^{3} + C$

ステップ 7.3.2.2

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.3.2.2.1

共通因数を約分します。

$x y = \frac{3}{3} x^{3} + C$

ステップ 7.3.2.2.2

式を書き換えます。

$x y = 1 x^{3} + C$

ステップ 7.3.2.3

$x^{3}$ に $1$ をかけます。

$x y = x^{3} + C$

ステップ 8

$x y = x^{3} + C$ の各項を $x$ で割り、簡約します。

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ステップ 8.1

$x y = x^{3} + C$ の各項を $x$ で割ります。

$\frac{x y}{x} = \frac{x^{3}}{x} + \frac{C}{x}$

ステップ 8.2

左辺を簡約します。

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ステップ 8.2.1

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{x y}{x} = \frac{x^{3}}{x} + \frac{C}{x}$

ステップ 8.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{x^{3}}{x} + \frac{C}{x}$

ステップ 8.3

右辺を簡約します。

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ステップ 8.3.1

$x^{3}$ と $x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.3.1.1

$x$ を $x^{3}$ で因数分解します。

$y = \frac{x \cdot x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

ステップ 8.3.1.2

共通因数を約分します。

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ステップ 8.3.1.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$y = \frac{x \cdot x^{2}}{x^{1}} + \frac{C}{x}$

ステップ 8.3.1.2.2

$x$ を $x^{1}$ で因数分解します。

$y = \frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} + \frac{C}{x}$

ステップ 8.3.1.2.3

共通因数を約分します。

$y = \frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} + \frac{C}{x}$

ステップ 8.3.1.2.4

式を書き換えます。

$y = \frac{x^{2}}{1} + \frac{C}{x}$

ステップ 8.3.1.2.5

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$y = x^{2} + \frac{C}{x}$

微分積分 例

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