微分積分例

$\frac{d y}{d x} = x \cos (8 x^{2})$ , $y (0) = 8$

ステップ 1

方程式を書き換えます。

$d y = x \cos (8 x^{2}) d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int d y = \int x \cos (8 x^{2}) d x$

ステップ 2.2

定数の法則を当てはめます。

$y + C_{1} = \int x \cos (8 x^{2}) d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

$u = 8 x^{2}$ とします。次に $d u = 16 x d x$ すると、 $\frac{1}{16} d u = x d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.3.1.1

$u = 8 x^{2}$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 2.3.1.1.1

$8 x^{2}$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [8 x^{2}]$

ステップ 2.3.1.1.2

$8$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $8 x^{2}$ の微分係数は $8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 2.3.1.1.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$8 (2 x)$

ステップ 2.3.1.1.4

$2$ に $8$ をかけます。

$16 x$

ステップ 2.3.1.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$y + C_{1} = \int \cos (u) \frac{1}{16} d u$

ステップ 2.3.2

$\cos (u)$ と $\frac{1}{16}$ をまとめます。

$y + C_{1} = \int \frac{\cos (u)}{16} d u$

ステップ 2.3.3

$\frac{1}{16}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{16}$ を積分の外に移動させます。

$y + C_{1} = \frac{1}{16} \int \cos (u) d u$

ステップ 2.3.4

$\cos (u)$ の $u$ に関する積分は $\sin (u)$ です。

$y + C_{1} = \frac{1}{16} (\sin (u) + C_{2})$

ステップ 2.3.5

簡約します。

$y + C_{1} = \frac{1}{16} \sin (u) + C_{2}$

ステップ 2.3.6

$u$ のすべての発生を $8 x^{2}$ で置き換えます。

$y + C_{1} = \frac{1}{16} \sin (8 x^{2}) + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$y = \frac{1}{16} \sin (8 x^{2}) + K$

ステップ 3

初期条件を利用し、 $y = \frac{1}{16} \sin (8 x^{2}) + K$ の $0$ を $x$ に、 $8$ を $y$ に代入し $K$ の値を求めます。

$8 = \frac{1}{16} \sin (8 \cdot 0^{2}) + K$

ステップ 4

$K$ について解きます。

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ステップ 4.1

方程式を $\frac{1}{16} \cdot \sin (8 \cdot 0^{2}) + K = 8$ として書き換えます。

$\frac{1}{16} \cdot \sin (8 \cdot 0^{2}) + K = 8$

ステップ 4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 4.2.1

$\frac{1}{16} \cdot \sin (8 \cdot 0^{2}) + K$ を簡約します。

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ステップ 4.2.1.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.2.1.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\frac{1}{16} \cdot \sin (8 \cdot 0) + K = 8$

ステップ 4.2.1.1.2

$8$ に $0$ をかけます。

$\frac{1}{16} \cdot \sin (0) + K = 8$

ステップ 4.2.1.1.3

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$\frac{1}{16} \cdot 0 + K = 8$

ステップ 4.2.1.1.4

$\frac{1}{16}$ に $0$ をかけます。

$0 + K = 8$

ステップ 4.2.1.2

$0$ と $K$ をたし算します。

$K = 8$

ステップ 5

$8$ を $y = \frac{1}{16} \sin (8 x^{2}) + K$ の中の $K$ に代入し簡約します。

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ステップ 5.1

$8$ を $K$ に代入します。

$y = \frac{1}{16} \sin (8 x^{2}) + 8$

ステップ 5.2

$\frac{1}{16}$ と $\sin (8 x^{2})$ をまとめます。

$y = \frac{\sin (8 x^{2})}{16} + 8$

微分積分 例

微分積分例