微分積分例

$(y^{4} + 2 y) d x + (x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x) d y = 0$

ステップ 1

$M (x, y) = y^{4} + 2 y$ の時の $\frac{\partial M}{\partial y}$ を求めます。

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ステップ 1.1

$y$ に関して $M$ を微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{4} + 2 y]$

ステップ 1.2

微分します。

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ステップ 1.2.1

総和則では、 $y^{4} + 2 y$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [y^{4}] + \frac{d}{d y} [2 y]$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{4}] + \frac{d}{d y} [2 y]$

ステップ 1.2.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 y^{3} + \frac{d}{d y} [2 y]$

ステップ 1.3

$\frac{d}{d y} [2 y]$ の値を求めます。

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ステップ 1.3.1

$2$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $2 y$ の微分係数は $2 \frac{d}{d y} [y]$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 y^{3} + 2 \frac{d}{d y} [y]$

ステップ 1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 y^{3} + 2 \cdot 1$

ステップ 1.3.3

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 y^{3} + 2$

ステップ 2

$N (x, y) = x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x$ の時の $\frac{\partial N}{\partial x}$ を求めます。

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ステップ 2.1

$x$ に関して $N$ を微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x]$

ステップ 2.2

総和則では、 $x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x y^{3}] + \frac{d}{d x} [2 y^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x y^{3}] + \frac{d}{d x} [2 y^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [x y^{3}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.3.1

$y^{3}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $x y^{3}$ の微分係数は $y^{3} \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = y^{3} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 y^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

ステップ 2.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = y^{3} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2 y^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

ステップ 2.3.3

$y^{3}$ に $1$ をかけます。

$\frac{\partial N}{\partial x} = y^{3} + \frac{d}{d x} [2 y^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

ステップ 2.4

$2 y^{4}$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $2 y^{4}$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = y^{3} + 0 + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

ステップ 2.5

$\frac{d}{d x} [- 4 x]$ の値を求めます。

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ステップ 2.5.1

$- 4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 4 x$ の微分係数は $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = y^{3} + 0 - 4 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.5.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = y^{3} + 0 - 4 \cdot 1$

ステップ 2.5.3

$- 4$ に $1$ をかけます。

$\frac{\partial N}{\partial x} = y^{3} + 0 - 4$

ステップ 2.6

$y^{3}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = y^{3} - 4$

ステップ 3

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ を確認します。

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ステップ 3.1

$4 y^{3} + 2$ を $\frac{\partial M}{\partial y}$ に、 $y^{3} - 4$ を $\frac{\partial N}{\partial x}$ に代入します。

$4 y^{3} + 2 = y^{3} - 4$

ステップ 3.2

方程式の左辺が右辺に等しくないので、方程式は恒等式ではありません。

$4 y^{3} + 2 = y^{3} - 4$ は恒等式ではありません。

ステップ 4

積分因子 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ を求めます。

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ステップ 4.1

$y^{3} - 4$ を $\frac{\partial N}{\partial x}$ に代入します。

$\frac{y^{3} - 4 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

ステップ 4.2

$4 y^{3} + 2$ を $\frac{\partial M}{\partial y}$ に代入します。

$\frac{y^{3} - 4 - (4 y^{3} + 2)}{M}$

ステップ 4.3

$y^{4} + 2 y$ を $M$ に代入します。

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ステップ 4.3.1

$y^{4} + 2 y$ を $M$ に代入します。

$\frac{y^{3} - 4 - (4 y^{3} + 2)}{y^{4} + 2 y}$

ステップ 4.3.2

分子を簡約します。

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ステップ 4.3.2.1

分配則を当てはめます。

$\frac{y^{3} - 4 - (4 y^{3}) - 1 \cdot 2}{y^{4} + 2 y}$

ステップ 4.3.2.2

$4$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{y^{3} - 4 - 4 y^{3} - 1 \cdot 2}{y^{4} + 2 y}$

ステップ 4.3.2.3

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{y^{3} - 4 - 4 y^{3} - 2}{y^{4} + 2 y}$

ステップ 4.3.2.4

$y^{3}$ から $4 y^{3}$ を引きます。

$\frac{- 3 y^{3} - 4 - 2}{y^{4} + 2 y}$

ステップ 4.3.2.5

$- 4$ から $2$ を引きます。

$\frac{- 3 y^{3} - 6}{y^{4} + 2 y}$

ステップ 4.3.2.6

$3$ を $- 3 y^{3} - 6$ で因数分解します。

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ステップ 4.3.2.6.1

$3$ を $- 3 y^{3}$ で因数分解します。

$\frac{3 (- y^{3}) - 6}{y^{4} + 2 y}$

ステップ 4.3.2.6.2

$3$ を $- 6$ で因数分解します。

$\frac{3 (- y^{3}) + 3 (- 2)}{y^{4} + 2 y}$

ステップ 4.3.2.6.3

$3$ を $3 (- y^{3}) + 3 (- 2)$ で因数分解します。

$\frac{3 (- y^{3} - 2)}{y^{4} + 2 y}$

ステップ 4.3.3

$y$ を $y^{4} + 2 y$ で因数分解します。

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ステップ 4.3.3.1

$y$ を $y^{4}$ で因数分解します。

$\frac{3 (- y^{3} - 2)}{y \cdot y^{3} + 2 y}$

ステップ 4.3.3.2

$y$ を $2 y$ で因数分解します。

$\frac{3 (- y^{3} - 2)}{y \cdot y^{3} + y \cdot 2}$

ステップ 4.3.3.3

$y$ を $y \cdot y^{3} + y \cdot 2$ で因数分解します。

$\frac{3 (- y^{3} - 2)}{y (y^{3} + 2)}$

ステップ 4.3.4

$- y^{3} - 2$ と $y^{3} + 2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.3.4.1

$- 1$ を $- y^{3}$ で因数分解します。

$\frac{3 (- (y^{3}) - 2)}{y (y^{3} + 2)}$

ステップ 4.3.4.2

$- 2$ を $- 1 (2)$ に書き換えます。

$\frac{3 (- (y^{3}) - 1 (2))}{y (y^{3} + 2)}$

ステップ 4.3.4.3

$- 1$ を $- (y^{3}) - 1 (2)$ で因数分解します。

$\frac{3 (- (y^{3} + 2))}{y (y^{3} + 2)}$

ステップ 4.3.4.4

$- (y^{3} + 2)$ を $- 1 (y^{3} + 2)$ に書き換えます。

$\frac{3 (- 1 (y^{3} + 2))}{y (y^{3} + 2)}$

ステップ 4.3.4.5

共通因数を約分します。

$\frac{3 (- 1 (y^{3} + 2))}{y (y^{3} + 2)}$

ステップ 4.3.4.6

式を書き換えます。

$\frac{3 \cdot (- 1)}{y}$

ステップ 4.3.5

$3$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{- 3}{y}$

ステップ 4.3.6

$y^{4} + 2 y$ を $M$ に代入します。

$- \frac{3}{y}$

ステップ 4.4

積分因子 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ を求めます。

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{3}{y} d y}$

ステップ 5

積分 $e^{\int - \frac{3}{y} d y}$ を求めます。

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ステップ 5.1

$- 1$ は $y$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{3}{y} d y}$

ステップ 5.2

$3$ は $y$ に対して定数なので、 $3$ を積分の外に移動させます。

$μ (x, y) = e^{- (3 \int \frac{1}{y} d y)}$

ステップ 5.3

$3$ に $- 1$ をかけます。

$μ (x, y) = e^{- 3 \int \frac{1}{y} d y}$

ステップ 5.4

$\frac{1}{y}$ の $y$ に関する積分は $\ln (| y |)$ です。

$μ (x, y) = e^{- 3 (\ln (| y |) + C)}$

ステップ 5.5

簡約します。

$μ (x, y) = e^{- 3 \ln (| y |)} + C$

ステップ 5.6

各項を簡約します。

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ステップ 5.6.1

対数の中の $- 3$ を移動させて $- 3 \ln (| y |)$ を簡約します。

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 3})} + C$

ステップ 5.6.2

指数関数と対数関数は逆関数です。

$μ (x, y) = {| y |}^{- 3} + C$

ステップ 5.6.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$μ (x, y) = \frac{1}{{| y |}^{3}} + C$

ステップ 6

$(y^{4} + 2 y) d x + (x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x) d y = 0$ の両辺に積分因子 $\frac{1}{y^{3}}$ を掛けます。

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ステップ 6.1

$y^{4} + 2 y$ に $\frac{1}{y^{3}}$ をかけます。

$(y^{4} + 2 y) \frac{1}{y^{3}} d x + (x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x) d y = 0$

ステップ 6.2

$y^{4} + 2 y$ に $\frac{1}{y^{3}}$ をかけます。

$\frac{y^{4} + 2 y}{y^{3}} d x + (x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x) d y = 0$

ステップ 6.3

$y$ を $y^{4} + 2 y$ で因数分解します。

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ステップ 6.3.1

$y$ を $y^{4}$ で因数分解します。

$\frac{y \cdot y^{3} + 2 y}{y^{3}} d x + (x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x) d y = 0$

ステップ 6.3.2

$y$ を $2 y$ で因数分解します。

$\frac{y \cdot y^{3} + y \cdot 2}{y^{3}} d x + (x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x) d y = 0$

ステップ 6.3.3

$y$ を $y \cdot y^{3} + y \cdot 2$ で因数分解します。

$\frac{y (y^{3} + 2)}{y^{3}} d x + (x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x) d y = 0$

ステップ 6.4

共通因数を約分します。

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ステップ 6.4.1

$y$ を $y^{3}$ で因数分解します。

$\frac{y (y^{3} + 2)}{y \cdot y^{2}} d x + (x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x) d y = 0$

ステップ 6.4.2

共通因数を約分します。

$\frac{y (y^{3} + 2)}{y \cdot y^{2}} d x + (x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x) d y = 0$

ステップ 6.4.3

式を書き換えます。

$\frac{y^{3} + 2}{y^{2}} d x + (x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x) d y = 0$

ステップ 6.5

$x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x$ に $\frac{1}{y^{3}}$ をかけます。

$\frac{y^{3} + 2}{y^{2}} d x + (x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x) \frac{1}{y^{3}} d y = 0$

ステップ 6.6

$x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x$ に $\frac{1}{y^{3}}$ をかけます。

$\frac{y^{3} + 2}{y^{2}} d x + \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}} d y = 0$

ステップ 7

$f (x, y)$ は $M (x, y)$ の積分と等しいとします。

$f (x, y) = \int \frac{y^{3} + 2}{y^{2}} d x$

ステップ 8

$M (x, y) = \frac{y^{3} + 2}{y^{2}}$ を積分して $f (x, y)$ を求めます。

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ステップ 8.1

定数の法則を当てはめます。

$f (x, y) = \frac{y^{3} + 2}{y^{2}} x + C$

ステップ 8.2

答えを簡約します。

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ステップ 8.2.1

$\frac{y^{3} + 2}{y^{2}}$ と $x$ をまとめます。

$f (x, y) = \frac{(y^{3} + 2) x}{y^{2}} + C$

ステップ 8.2.2

$\frac{(y^{3} + 2) x}{y^{2}} + C$ を $\frac{y^{3} x + 2 x}{y^{2}} + C$ に書き換えます。

$f (x, y) = \frac{y^{3} x + 2 x}{y^{2}} + C$

ステップ 9

$g (y)$ の積分は積分定数を含むので、 $C$ を $g (y)$ で置き換えることができます。

$f (x, y) = \frac{y^{3} x + 2 x}{y^{2}} + g (y)$

ステップ 10

$\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ を設定します。

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

ステップ 11

$\frac{\partial f}{\partial y}$ を求めます。

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ステップ 11.1

$y$ に関して $f$ を微分します。

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{3} x + 2 x}{y^{2}} + g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

ステップ 11.2

総和則では、 $\frac{y^{3} x + 2 x}{y^{2}} + g (y)$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [\frac{y^{3} x + 2 x}{y^{2}}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ です。

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{3} x + 2 x}{y^{2}}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

ステップ 11.3

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{3} x + 2 x}{y^{2}}]$ の値を求めます。

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ステップ 11.3.1

$f (y) = y^{3} x + 2 x$ および $g (y) = y^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ は $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{y^{2} \frac{d}{d y} [y^{3} x + 2 x] - (y^{3} x + 2 x) \frac{d}{d y} [y^{2}]}{{(y^{2})}^{2}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

ステップ 11.3.2

総和則では、 $y^{3} x + 2 x$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [y^{3} x] + \frac{d}{d y} [2 x]$ です。

$\frac{y^{2} (\frac{d}{d y} [y^{3} x] + \frac{d}{d y} [2 x]) - (y^{3} x + 2 x) \frac{d}{d y} [y^{2}]}{{(y^{2})}^{2}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

ステップ 11.3.3

$x$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $y^{3} x$ の微分係数は $x \frac{d}{d y} [y^{3}]$ です。

$\frac{y^{2} (x \frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [2 x]) - (y^{3} x + 2 x) \frac{d}{d y} [y^{2}]}{{(y^{2})}^{2}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

ステップ 11.3.4

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{y^{2} (x (3 y^{2}) + \frac{d}{d y} [2 x]) - (y^{3} x + 2 x) \frac{d}{d y} [y^{2}]}{{(y^{2})}^{2}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

ステップ 11.3.5

$2 x$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $2 x$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{y^{2} (x (3 y^{2}) + 0) - (y^{3} x + 2 x) \frac{d}{d y} [y^{2}]}{{(y^{2})}^{2}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

ステップ 11.3.6

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{y^{2} (x (3 y^{2}) + 0) - (y^{3} x + 2 x) (2 y)}{{(y^{2})}^{2}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

ステップ 11.3.7

$3$ を $x$ の左に移動させます。

$\frac{y^{2} (3 \cdot x y^{2} + 0) - (y^{3} x + 2 x) (2 y)}{{(y^{2})}^{2}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

ステップ 11.3.8

$3 x y^{2}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{y^{2} (3 x y^{2}) - (y^{3} x + 2 x) (2 y)}{{(y^{2})}^{2}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

ステップ 11.3.9

指数を足して $y^{2}$ に $y^{2}$ を掛けます。

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ステップ 11.3.9.1

$y^{2}$ を移動させます。

$\frac{y^{2} y^{2} (3 x) - (y^{3} x + 2 x) (2 y)}{{(y^{2})}^{2}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

ステップ 11.3.9.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{y^{2 + 2} (3 x) - (y^{3} x + 2 x) (2 y)}{{(y^{2})}^{2}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

ステップ 11.3.9.3

$2$ と $2$ をたし算します。

$\frac{y^{4} (3 x) - (y^{3} x + 2 x) (2 y)}{{(y^{2})}^{2}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

ステップ 11.3.10

$3$ を $y^{4}$ の左に移動させます。

$\frac{3 \cdot y^{4} x - (y^{3} x + 2 x) (2 y)}{{(y^{2})}^{2}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

ステップ 11.3.11

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{3 y^{4} x - 2 (y^{3} x + 2 x) y}{{(y^{2})}^{2}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

ステップ 11.3.12

${(y^{2})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 11.3.12.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{3 y^{4} x - 2 (y^{3} x + 2 x) y}{y^{2 \cdot 2}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

ステップ 11.3.12.2

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{3 y^{4} x - 2 (y^{3} x + 2 x) y}{y^{4}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

ステップ 11.3.13

$y$ を $3 y^{4} x - 2 (y^{3} x + 2 x) y$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.3.13.1

$y$ を $3 y^{4} x$ で因数分解します。

$\frac{y (3 y^{3} x) - 2 (y^{3} x + 2 x) y}{y^{4}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

ステップ 11.3.13.2

$y$ を $- 2 (y^{3} x + 2 x) y$ で因数分解します。

$\frac{y (3 y^{3} x) + y (- 2 (y^{3} x + 2 x))}{y^{4}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

ステップ 11.3.13.3

$y$ を $y (3 y^{3} x) + y (- 2 (y^{3} x + 2 x))$ で因数分解します。

$\frac{y (3 y^{3} x - 2 (y^{3} x + 2 x))}{y^{4}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

ステップ 11.3.14

共通因数を約分します。

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ステップ 11.3.14.1

$y$ を $y^{4}$ で因数分解します。

$\frac{y (3 y^{3} x - 2 (y^{3} x + 2 x))}{y \cdot y^{3}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

ステップ 11.3.14.2

共通因数を約分します。

$\frac{y (3 y^{3} x - 2 (y^{3} x + 2 x))}{y \cdot y^{3}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

ステップ 11.3.14.3

式を書き換えます。

$\frac{3 y^{3} x - 2 (y^{3} x + 2 x)}{y^{3}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

ステップ 11.4

$g (y)$ の微分係数は $\frac{d g}{d y}$ であるという関数の規則を使って微分します。

$\frac{3 y^{3} x - 2 (y^{3} x + 2 x)}{y^{3}} + \frac{d g}{d y} = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

ステップ 11.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.5.1

分配則を当てはめます。

$\frac{3 y^{3} x - 2 (y^{3} x) - 2 (2 x)}{y^{3}} + \frac{d g}{d y} = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

ステップ 11.5.2

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.5.2.1

$2$ に $- 2$ をかけます。

$\frac{3 y^{3} x - 2 y^{3} x - 4 x}{y^{3}} + \frac{d g}{d y} = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

ステップ 11.5.2.2

$3 y^{3} x$ から $2 y^{3} x$ を引きます。

$\frac{1 y^{3} x - 4 x}{y^{3}} + \frac{d g}{d y} = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

ステップ 11.5.2.3

$y^{3}$ に $1$ をかけます。

$\frac{y^{3} x - 4 x}{y^{3}} + \frac{d g}{d y} = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

ステップ 11.5.2.4

$\frac{d g}{d y}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{y^{3}}{y^{3}}$ を掛けます。

$\frac{y^{3} x - 4 x}{y^{3}} + \frac{\frac{d g}{d y} y^{3}}{y^{3}} = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

ステップ 11.5.2.5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{y^{3} x - 4 x + \frac{d g}{d y} y^{3}}{y^{3}} = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

ステップ 11.5.3

項を並べ替えます。

$\frac{y^{3} x + y^{3} \frac{d g}{d y} - 4 x}{y^{3}} = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

ステップ 12

$\frac{d g}{d y}$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1

$\frac{d g}{d y}$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.1

方程式の各辺にある式に同じ分母があるので、分子は等しくなければなりません。

$y^{3} x + y^{3} \frac{d g}{d y} - 4 x = x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x$

ステップ 12.1.2

$\frac{d g}{d y}$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.2.1

方程式の両辺から $y^{3} x$ を引きます。

$y^{3} \frac{d g}{d y} - 4 x = x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x - y^{3} x$

ステップ 12.1.2.2

方程式の両辺に $4 x$ を足します。

$y^{3} \frac{d g}{d y} = x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x - y^{3} x + 4 x$

ステップ 12.1.2.3

$x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x - y^{3} x + 4 x$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.2.3.1

$x y^{3}$ と $- y^{3} x$ について因数を並べ替えます。

$y^{3} \frac{d g}{d y} = y^{3} x + 2 y^{4} - 4 x - y^{3} x + 4 x$

ステップ 12.1.2.3.2

$y^{3} x$ から $y^{3} x$ を引きます。

$y^{3} \frac{d g}{d y} = 2 y^{4} - 4 x + 0 + 4 x$

ステップ 12.1.2.3.3

$2 y^{4} - 4 x$ と $0$ をたし算します。

$y^{3} \frac{d g}{d y} = 2 y^{4} - 4 x + 4 x$

ステップ 12.1.2.3.4

$- 4 x$ と $4 x$ をたし算します。

$y^{3} \frac{d g}{d y} = 2 y^{4} + 0$

ステップ 12.1.2.3.5

$2 y^{4}$ と $0$ をたし算します。

$y^{3} \frac{d g}{d y} = 2 y^{4}$

ステップ 12.1.3

$y^{3} \frac{d g}{d y} = 2 y^{4}$ の各項を $y^{3}$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.3.1

$y^{3} \frac{d g}{d y} = 2 y^{4}$ の各項を $y^{3}$ で割ります。

$\frac{y^{3} \frac{d g}{d y}}{y^{3}} = \frac{2 y^{4}}{y^{3}}$

ステップ 12.1.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.3.2.1

$y^{3}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y^{3} \frac{d g}{d y}}{y^{3}} = \frac{2 y^{4}}{y^{3}}$

ステップ 12.1.3.2.1.2

$\frac{d g}{d y}$ を $1$ で割ります。

$\frac{d g}{d y} = \frac{2 y^{4}}{y^{3}}$

ステップ 12.1.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.3.3.1

$y^{4}$ と $y^{3}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.3.3.1.1

$y^{3}$ を $2 y^{4}$ で因数分解します。

$\frac{d g}{d y} = \frac{y^{3} (2 y)}{y^{3}}$

ステップ 12.1.3.3.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.3.3.1.2.1

$1$ を掛けます。

$\frac{d g}{d y} = \frac{y^{3} (2 y)}{y^{3} \cdot 1}$

ステップ 12.1.3.3.1.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{d g}{d y} = \frac{y^{3} (2 y)}{y^{3} \cdot 1}$

ステップ 12.1.3.3.1.2.3

式を書き換えます。

$\frac{d g}{d y} = \frac{2 y}{1}$

ステップ 12.1.3.3.1.2.4

$2 y$ を $1$ で割ります。

$\frac{d g}{d y} = 2 y$

ステップ 13

$2 y$ の不定積分を求めて $g (y)$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1

$\frac{d g}{d y} = 2 y$ の両辺を積分します。

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 2 y d y$

ステップ 13.2

$\int \frac{d g}{d y} d y$ の値を求めます。

$g (y) = \int 2 y d y$

ステップ 13.3

$2$ は $y$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$g (y) = 2 \int y d y$

ステップ 13.4

べき乗則では、 $y$ の $y$ に関する積分は $\frac{1}{2} y^{2}$ です。

$g (y) = 2 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

ステップ 13.5

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.5.1

$2 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ を $2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$ に書き換えます。

$g (y) = 2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$

ステップ 13.5.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.5.2.1

$2$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$g (y) = \frac{2}{2} y^{2} + C$

ステップ 13.5.2.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.5.2.2.1

共通因数を約分します。

$g (y) = \frac{2}{2} y^{2} + C$

ステップ 13.5.2.2.2

式を書き換えます。

$g (y) = 1 y^{2} + C$

ステップ 13.5.2.3

$y^{2}$ に $1$ をかけます。

$g (y) = y^{2} + C$

ステップ 14

$f (x, y) = \frac{y^{3} x + 2 x}{y^{2}} + g (y)$ の $g (y)$ に代入します。

$f (x, y) = \frac{y^{3} x + 2 x}{y^{2}} + y^{2} + C$

ステップ 15

$f (x, y) = \frac{y^{3} x + 2 x}{y^{2}} + y^{2} + C$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.1

$x$ を $y^{3} x + 2 x$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.1.1

$x$ を $y^{3} x$ で因数分解します。

$f (x, y) = \frac{x y^{3} + 2 x}{y^{2}} + y^{2} + C$

ステップ 15.1.2

$x$ を $2 x$ で因数分解します。

$f (x, y) = \frac{x y^{3} + x \cdot 2}{y^{2}} + y^{2} + C$

ステップ 15.1.3

$x$ を $x y^{3} + x \cdot 2$ で因数分解します。

$f (x, y) = \frac{x (y^{3} + 2)}{y^{2}} + y^{2} + C$

ステップ 15.2

$y^{2}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{y^{2}}{y^{2}}$ を掛けます。

$f (x, y) = \frac{x (y^{3} + 2)}{y^{2}} + \frac{y^{2} y^{2}}{y^{2}} + C$

ステップ 15.3

公分母の分子をまとめます。

$f (x, y) = \frac{x (y^{3} + 2) + y^{2} y^{2}}{y^{2}} + C$

ステップ 15.4

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.4.1

分配則を当てはめます。

$f (x, y) = \frac{x y^{3} + x \cdot 2 + y^{2} y^{2}}{y^{2}} + C$

ステップ 15.4.2

$2$ を $x$ の左に移動させます。

$f (x, y) = \frac{x y^{3} + 2 \cdot x + y^{2} y^{2}}{y^{2}} + C$

ステップ 15.4.3

指数を足して $y^{2}$ に $y^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.4.3.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f (x, y) = \frac{x y^{3} + 2 x + y^{2 + 2}}{y^{2}} + C$

ステップ 15.4.3.2

$2$ と $2$ をたし算します。

$f (x, y) = \frac{x y^{3} + 2 x + y^{4}}{y^{2}} + C$

微分積分 例

微分積分例