微分積分例

$f (2 π) = 1$ ならば $\frac{d y}{d x} = y \sin (x)$

ステップ 1

変数を分けます。

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ステップ 1.1

両辺に $\frac{1}{y}$ を掛けます。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \sin (x))$

ステップ 1.2

$y$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.1

$y$ を $y \sin (x)$ で因数分解します。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (\sin (x)))$

ステップ 1.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \sin (x))$

ステップ 1.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \sin (x)$

ステップ 1.3

方程式を書き換えます。

$\frac{1}{y} d y = \sin (x) d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{1}{y} d y = \int \sin (x) d x$

ステップ 2.2

$\frac{1}{y}$ の $y$ に関する積分は $\ln (| y |)$ です。

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \sin (x) d x$

ステップ 2.3

$\sin (x)$ の $x$ に関する積分は $- \cos (x)$ です。

$\ln (| y |) + C_{1} = - \cos (x) + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$\ln (| y |) = - \cos (x) + C$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

$y$ について解くために、対数の性質を利用して方程式を書き換えます。

$e^{\ln (| y |)} = e^{- \cos (x) + C}$

ステップ 3.2

対数の定義を利用して $\ln (| y |) = - \cos (x) + C$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$e^{- \cos (x) + C} = | y |$

ステップ 3.3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.3.1

方程式を $| y | = e^{- \cos (x) + C}$ として書き換えます。

$| y | = e^{- \cos (x) + C}$

ステップ 3.3.2

絶対値の項を削除します。これにより、 $| x | = \pm x$ なので方程式の右辺に $\pm$ ができます。

$y = \pm e^{- \cos (x) + C}$

ステップ 4

定数項をまとめます。

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ステップ 4.1

$e^{- \cos (x) + C}$ を $e^{- \cos (x)} e^{C}$ に書き換えます。

$y = \pm e^{- \cos (x)} e^{C}$

ステップ 4.2

$e^{- \cos (x)}$ と $e^{C}$ を並べ替えます。

$y = \pm e^{C} e^{- \cos (x)}$

ステップ 4.3

定数を正または負でまとめます。

$y = C e^{- \cos (x)}$

ステップ 5

初期条件を利用し、 $y = C e^{- \cos (x)}$ の $2 π$ を $x$ に、 $1$ を $y$ に代入し $C$ の値を求めます。

$1 = C e^{- \cos (2 π)}$

ステップ 6

$C$ について解きます。

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ステップ 6.1

方程式を $C e^{- \cos (2 π)} = 1$ として書き換えます。

$C e^{- \cos (2 π)} = 1$

ステップ 6.2

簡約します。

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ステップ 6.2.1

角度が $0$ 以上 $2 π$ より小さくなるまで $2 π$ の回転を戻します。

$C e^{- \cos (0)} = 1$

ステップ 6.2.2

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$C e^{- 1 \cdot 1} = 1$

ステップ 6.2.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$C e^{- 1} = 1$

ステップ 6.3

$C e^{- 1} = 1$ の各項を $e^{- 1}$ で割り、簡約します。

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ステップ 6.3.1

$C e^{- 1} = 1$ の各項を $e^{- 1}$ で割ります。

$\frac{C e^{- 1}}{e^{- 1}} = \frac{1}{e^{- 1}}$

ステップ 6.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 6.3.2.1

$e^{- 1}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{C e^{- 1}}{e^{- 1}} = \frac{1}{e^{- 1}}$

ステップ 6.3.2.1.2

$C$ を $1$ で割ります。

$C = \frac{1}{e^{- 1}}$

ステップ 6.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 6.3.3.1

負の指数法則 $\frac{1}{b^{- n}} = b^{n}$ を利用して $e^{- 1}$ を分子に移動させます。

$C = e$

ステップ 7

$e$ を $y = C e^{- \cos (x)}$ の中の $C$ に代入し簡約します。

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ステップ 7.1

$e$ を $C$ に代入します。

$y = e e^{- \cos (x)}$

ステップ 7.2

$e$ に $e^{- \cos (x)}$ をかけます。

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ステップ 7.2.1

$e$ を $1$ 乗します。

$y = e^{1} e^{- \cos (x)}$

ステップ 7.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$y = e^{1 - \cos (x)}$

微分積分 例

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