微分積分例

$(\frac{d y}{d x} + 1) = x e^{x + y}$

ステップ 1

$v = e^{x + y}$ とします。 $v$ を $e^{x + y}$ に代入します。

$(\frac{d y}{d x} + 1) = x v$

ステップ 2

$e^{x + y}$ を微分し、 $\frac{d v}{d x}$ を求めます。

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ステップ 2.1

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = x + y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x + y$ とします。

$\frac{d v}{d x} = \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x + y]$

ステップ 2.1.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$\frac{d v}{d x} = e^{u} \frac{d}{d x} [x + y]$

ステップ 2.1.3

$u$ のすべての発生を $x + y$ で置き換えます。

$\frac{d v}{d x} = e^{x + y} \frac{d}{d x} [x + y]$

ステップ 2.2

総和則では、 $x + y$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ です。

$\frac{d v}{d x} = e^{x + y} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 2.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{d v}{d x} = e^{x + y} (1 + \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 2.4

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$\frac{d v}{d x} = e^{x + y} (1 + y')$

ステップ 3

$v$ を $e^{x + y}$ に代入します。

$\frac{d v}{d x} = v (1 + y')$

ステップ 4

微分係数を微分方程式に戻し入れます。

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ステップ 4.1

$- 1$ と $1$ をたし算します。

$(\frac{\frac{d v}{d x}}{v} + 0) = x v$

ステップ 4.2

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v}$ と $0$ をたし算します。

$(\frac{\frac{d v}{d x}}{v}) = x v$

ステップ 5

変数を分けます。

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ステップ 5.1

$\frac{d v}{d x}$ について解きます。

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ステップ 5.1.1

両辺に $v$ を掛けます。

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v} v = x v \cdot v$

ステップ 5.1.2

簡約します。

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ステップ 5.1.2.1

左辺を簡約します。

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ステップ 5.1.2.1.1

$v$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.1.2.1.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v} v = x v \cdot v$

ステップ 5.1.2.1.1.2

式を書き換えます。

$\frac{d v}{d x} = x v \cdot v$

ステップ 5.1.2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 5.1.2.2.1

指数を足して $v$ に $v$ を掛けます。

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ステップ 5.1.2.2.1.1

$v$ を移動させます。

$\frac{d v}{d x} = x (v \cdot v)$

ステップ 5.1.2.2.1.2

$v$ に $v$ をかけます。

$\frac{d v}{d x} = x v^{2}$

ステップ 5.2

両辺に $\frac{1}{v^{2}}$ を掛けます。

$\frac{1}{v^{2}} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{v^{2}} (x v^{2})$

ステップ 5.3

$v^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.1

$v^{2}$ を $x v^{2}$ で因数分解します。

$\frac{1}{v^{2}} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{v^{2}} (v^{2} x)$

ステップ 5.3.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{v^{2}} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{v^{2}} (v^{2} x)$

ステップ 5.3.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{v^{2}} \frac{d v}{d x} = x$

ステップ 5.4

方程式を書き換えます。

$\frac{1}{v^{2}} d v = x d x$

ステップ 6

両辺を積分します。

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ステップ 6.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{1}{v^{2}} d v = \int x d x$

ステップ 6.2

左辺を積分します。

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ステップ 6.2.1

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 6.2.1.1

$v^{2}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\int {(v^{2})}^{- 1} d v = \int x d x$

ステップ 6.2.1.2

${(v^{2})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 6.2.1.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\int v^{2 \cdot - 1} d v = \int x d x$

ステップ 6.2.1.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\int v^{- 2} d v = \int x d x$

ステップ 6.2.2

べき乗則では、 $v^{- 2}$ の $v$ に関する積分は $- v^{- 1}$ です。

$- v^{- 1} + C_{1} = \int x d x$

ステップ 6.2.3

$- v^{- 1} + C_{1}$ を $- \frac{1}{v} + C_{1}$ に書き換えます。

$- \frac{1}{v} + C_{1} = \int x d x$

ステップ 6.3

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$- \frac{1}{v} + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

ステップ 6.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$- \frac{1}{v} = \frac{1}{2} x^{2} + K$

ステップ 7

$v$ について解きます。

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ステップ 7.1

$\frac{1}{2}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$- \frac{1}{v} = \frac{x^{2}}{2} + K$

ステップ 7.2

方程式の項の最小公分母を求めます。

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ステップ 7.2.1

値のリストの最小公分母を求めることは、それらの値の分母の最小公倍数を求めることと同じです。

$v, 2, 1$

ステップ 7.2.2

$v, 2, 1$ には数と変数があるので、最小公倍数を求めるには2段階あります。数値部 $1, 2, 1$ の最小公倍数を求め、次に変数部 $v^{1}$ の最小公倍数を求めます。

ステップ 7.2.3

最小公倍数はすべての数を割り切る最小の正の数です。

1. 各数値の素因数を記入してください。

2. 各因数に、いずれかの値で発生する最大回数をかけてください。

ステップ 7.2.4

数 $1$ は、それ自身である正の因数を1つだけもつので、素数ではありません。

素数ではありません

ステップ 7.2.5

$2$ には、 $1$ と $2$ 以外に因数がないため。

$2$ は素数です

ステップ 7.2.6

数 $1$ は、それ自身である正の因数を1つだけもつので、素数ではありません。

素数ではありません

ステップ 7.2.7

$1, 2, 1$ の最小公倍数は、すべての素因数がいずれかの数に出現する回数の最大数を掛けた結果です。

$2$

ステップ 7.2.8

$v^{1}$ の因数は $v$ そのものです。

$v^{1} = v$

$v$ は $1$ 回発生します。

ステップ 7.2.9

$v^{1}$ の最小公倍数は、すべての素因数がいずれかの項に出現する回数の最大数を掛けた結果です。

$v$

ステップ 7.2.10

$v, 2, 1$ の最小公倍数は数値部分 $2$ に変数部分を掛けたものです。

$2 v$

ステップ 7.3

$- \frac{1}{v} = \frac{x^{2}}{2} + K$ の各項に $2 v$ を掛け、分数を消去します。

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ステップ 7.3.1

$- \frac{1}{v} = \frac{x^{2}}{2} + K$ の各項に $2 v$ を掛けます。

$- \frac{1}{v} (2 v) = \frac{x^{2}}{2} (2 v) + K (2 v)$

ステップ 7.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 7.3.2.1

$v$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.3.2.1.1

$- \frac{1}{v}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{- 1}{v} (2 v) = \frac{x^{2}}{2} (2 v) + K (2 v)$

ステップ 7.3.2.1.2

$v$ を $2 v$ で因数分解します。

$\frac{- 1}{v} (v \cdot 2) = \frac{x^{2}}{2} (2 v) + K (2 v)$

ステップ 7.3.2.1.3

共通因数を約分します。

$\frac{- 1}{v} (v \cdot 2) = \frac{x^{2}}{2} (2 v) + K (2 v)$

ステップ 7.3.2.1.4

式を書き換えます。

$- 1 \cdot 2 = \frac{x^{2}}{2} (2 v) + K (2 v)$

ステップ 7.3.2.2

$- 1$ に $2$ をかけます。

$- 2 = \frac{x^{2}}{2} (2 v) + K (2 v)$

ステップ 7.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 7.3.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 7.3.3.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$- 2 = 2 \frac{x^{2}}{2} v + K (2 v)$

ステップ 7.3.3.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.3.3.1.2.1

共通因数を約分します。

$- 2 = 2 \frac{x^{2}}{2} v + K (2 v)$

ステップ 7.3.3.1.2.2

式を書き換えます。

$- 2 = x^{2} v + K (2 v)$

ステップ 7.3.3.1.3

積の可換性を利用して書き換えます。

$- 2 = x^{2} v + 2 K v$

ステップ 7.4

方程式を解きます。

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ステップ 7.4.1

方程式を $x^{2} v + 2 K v = - 2$ として書き換えます。

$x^{2} v + 2 K v = - 2$

ステップ 7.4.2

$v$ を $x^{2} v + 2 K v$ で因数分解します。

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ステップ 7.4.2.1

$v$ を $x^{2} v$ で因数分解します。

$v x^{2} + 2 K v = - 2$

ステップ 7.4.2.2

$v$ を $2 K v$ で因数分解します。

$v (x^{2}) + v (2 K) = - 2$

ステップ 7.4.2.3

$v$ を $v (x^{2}) + v (2 K)$ で因数分解します。

$v (x^{2} + 2 K) = - 2$

ステップ 7.4.3

$v (x^{2} + 2 K) = - 2$ の各項を $x^{2} + 2 K$ で割り、簡約します。

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ステップ 7.4.3.1

$v (x^{2} + 2 K) = - 2$ の各項を $x^{2} + 2 K$ で割ります。

$\frac{v (x^{2} + 2 K)}{x^{2} + 2 K} = \frac{- 2}{x^{2} + 2 K}$

ステップ 7.4.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 7.4.3.2.1

$x^{2} + 2 K$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.4.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{v (x^{2} + 2 K)}{x^{2} + 2 K} = \frac{- 2}{x^{2} + 2 K}$

ステップ 7.4.3.2.1.2

$v$ を $1$ で割ります。

$v = \frac{- 2}{x^{2} + 2 K}$

ステップ 7.4.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 7.4.3.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$v = - \frac{2}{x^{2} + 2 K}$

ステップ 8

積分定数を簡約します。

$v = - \frac{2}{x^{2} + K}$

ステップ 9

$v$ のすべての発生を $e^{x + y}$ で置き換えます。

$e^{x + y} = - \frac{2}{x^{2} + K}$

ステップ 10

$y$ について解きます。

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ステップ 10.1

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (e^{x + y}) = \ln (- \frac{2}{x^{2} + K})$

ステップ 10.2

左辺を展開します。

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ステップ 10.2.1

$x + y$ を対数の外に移動させて、 $\ln (e^{x + y})$ を展開します。

$(x + y) \ln (e) = \ln (- \frac{2}{x^{2} + K})$

ステップ 10.2.2

$e$ の自然対数は $1$ です。

$(x + y) \cdot 1 = \ln (- \frac{2}{x^{2} + K})$

ステップ 10.2.3

$x + y$ に $1$ をかけます。

$x + y = \ln (- \frac{2}{x^{2} + K})$

ステップ 10.3

方程式の両辺から $x$ を引きます。

$y = \ln (- \frac{2}{x^{2} + K}) - x$

微分積分 例

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