微分積分例

$\frac{d y}{d x} = 12 \sin^{2} (x) \cos (x)$ , $y (0) = 3$

ステップ 1

方程式を書き換えます。

$d y = 12 \sin^{2} (x) \cos (x) d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int d y = \int 12 \sin^{2} (x) \cos (x) d x$

ステップ 2.2

定数の法則を当てはめます。

$y + C_{1} = \int 12 \sin^{2} (x) \cos (x) d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

$12$ は $x$ に対して定数なので、 $12$ を積分の外に移動させます。

$y + C_{1} = 12 \int \sin^{2} (x) \cos (x) d x$

ステップ 2.3.2

$u = \sin (x)$ とします。次に $d u = \cos (x) d x$ すると、 $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.3.2.1

$u = \sin (x)$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 2.3.2.1.1

$\sin (x)$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

ステップ 2.3.2.1.2

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$\cos (x)$

ステップ 2.3.2.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$y + C_{1} = 12 \int u^{2} d u$

ステップ 2.3.3

べき乗則では、 $u^{2}$ の $u$ に関する積分は $\frac{1}{3} u^{3}$ です。

$y + C_{1} = 12 (\frac{1}{3} u^{3} + C_{2})$

ステップ 2.3.4

簡約します。

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ステップ 2.3.4.1

$12 (\frac{1}{3} u^{3} + C_{2})$ を $12 (\frac{1}{3}) u^{3} + C_{2}$ に書き換えます。

$y + C_{1} = 12 (\frac{1}{3}) u^{3} + C_{2}$

ステップ 2.3.4.2

簡約します。

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ステップ 2.3.4.2.1

$12$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$y + C_{1} = \frac{12}{3} u^{3} + C_{2}$

ステップ 2.3.4.2.2

$12$ と $3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.4.2.2.1

$3$ を $12$ で因数分解します。

$y + C_{1} = \frac{3 \cdot 4}{3} u^{3} + C_{2}$

ステップ 2.3.4.2.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.4.2.2.2.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$y + C_{1} = \frac{3 \cdot 4}{3 (1)} u^{3} + C_{2}$

ステップ 2.3.4.2.2.2.2

共通因数を約分します。

$y + C_{1} = \frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 1} u^{3} + C_{2}$

ステップ 2.3.4.2.2.2.3

式を書き換えます。

$y + C_{1} = \frac{4}{1} u^{3} + C_{2}$

ステップ 2.3.4.2.2.2.4

$4$ を $1$ で割ります。

$y + C_{1} = 4 u^{3} + C_{2}$

ステップ 2.3.5

$u$ のすべての発生を $\sin (x)$ で置き換えます。

$y + C_{1} = 4 \sin^{3} (x) + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$y = 4 \sin^{3} (x) + K$

ステップ 3

初期条件を利用し、 $y = 4 \sin^{3} (x) + K$ の $0$ を $x$ に、 $3$ を $y$ に代入し $K$ の値を求めます。

$3 = 4 \sin^{3} (0) + K$

ステップ 4

$K$ について解きます。

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ステップ 4.1

方程式を $4 \sin^{3} (0) + K = 3$ として書き換えます。

$4 \sin^{3} (0) + K = 3$

ステップ 4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 4.2.1

$4 \sin^{3} (0) + K$ を簡約します。

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ステップ 4.2.1.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.2.1.1.1

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$4 \cdot 0^{3} + K = 3$

ステップ 4.2.1.1.2

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$4 \cdot 0 + K = 3$

ステップ 4.2.1.1.3

$4$ に $0$ をかけます。

$0 + K = 3$

ステップ 4.2.1.2

$0$ と $K$ をたし算します。

$K = 3$

ステップ 5

$3$ を $y = 4 \sin^{3} (x) + K$ の中の $K$ に代入し簡約します。

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ステップ 5.1

$3$ を $K$ に代入します。

$y = 4 \sin^{3} (x) + 3$

微分積分 例

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