微分積分例

$\frac{d y}{d x} + 2 x y - 2 x e^{- x^{2}} = 0$

ステップ 1

方程式の両辺に $2 x e^{- x^{2}}$ を足します。

$\frac{d y}{d x} + 2 x y = 2 x e^{- x^{2}}$

ステップ 2

$P (x) = 2 x$ のとき、積分因数は公式 $e^{\int P (x) d x}$ で定義されます。

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ステップ 2.1

積分を設定します。

$e^{\int 2 x d x}$

ステップ 2.2

$2 x$ を積分します。

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ステップ 2.2.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$e^{2 \int x d x}$

ステップ 2.2.2

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$e^{2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)}$

ステップ 2.2.3

答えを簡約します。

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ステップ 2.2.3.1

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ を $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ に書き換えます。

$e^{2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C}$

ステップ 2.2.3.2

簡約します。

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ステップ 2.2.3.2.1

$2$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$e^{\frac{2}{2} x^{2} + C}$

ステップ 2.2.3.2.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.3.2.2.1

共通因数を約分します。

$e^{\frac{2}{2} x^{2} + C}$

ステップ 2.2.3.2.2.2

式を書き換えます。

$e^{1 x^{2} + C}$

ステップ 2.2.3.2.3

$x^{2}$ に $1$ をかけます。

$e^{x^{2} + C}$

ステップ 2.3

積分定数を削除します。

$e^{x^{2}}$

ステップ 3

各項に積分因数 $e^{x^{2}}$ を掛けます。

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ステップ 3.1

各項に $e^{x^{2}}$ を掛けます。

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + e^{x^{2}} (2 x y) = e^{x^{2}} (2 x e^{- x^{2}})$

ステップ 3.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 e^{x^{2}} (x y) = e^{x^{2}} (2 x e^{- x^{2}})$

ステップ 3.3

積の可換性を利用して書き換えます。

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 e^{x^{2}} (x y) = 2 e^{x^{2}} (x e^{- x^{2}})$

ステップ 3.4

指数を足して $e^{x^{2}}$ に $e^{- x^{2}}$ を掛けます。

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ステップ 3.4.1

$e^{- x^{2}}$ を移動させます。

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 e^{x^{2}} (x y) = 2 (e^{- x^{2}} e^{x^{2}}) x$

ステップ 3.4.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 e^{x^{2}} (x y) = 2 e^{- x^{2} + x^{2}} x$

ステップ 3.4.3

$- x^{2}$ と $x^{2}$ をたし算します。

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 e^{x^{2}} (x y) = 2 e^{0} x$

ステップ 3.5

$2 e^{0} x$ を簡約します。

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 e^{x^{2}} (x y) = 2 x$

ステップ 3.6

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 e^{x^{2}} (x y) = 2 x$ の因数を並べ替えます。

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 x y e^{x^{2}} = 2 x$

ステップ 4

左辺を積を微分した結果として書き換えます。

$\frac{d}{d x} [e^{x^{2}} y] = 2 x$

ステップ 5

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{d}{d x} [e^{x^{2}} y] d x = \int 2 x d x$

ステップ 6

左辺を積分します。

$e^{x^{2}} y = \int 2 x d x$

ステップ 7

右辺を積分します。

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ステップ 7.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$e^{x^{2}} y = 2 \int x d x$

ステップ 7.2

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$e^{x^{2}} y = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

ステップ 7.3

答えを簡約します。

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ステップ 7.3.1

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ を $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ に書き換えます。

$e^{x^{2}} y = 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

ステップ 7.3.2

簡約します。

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ステップ 7.3.2.1

$2$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$e^{x^{2}} y = \frac{2}{2} x^{2} + C$

ステップ 7.3.2.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.2.2.1

共通因数を約分します。

$e^{x^{2}} y = \frac{2}{2} x^{2} + C$

ステップ 7.3.2.2.2

式を書き換えます。

$e^{x^{2}} y = 1 x^{2} + C$

ステップ 7.3.2.3

$x^{2}$ に $1$ をかけます。

$e^{x^{2}} y = x^{2} + C$

ステップ 8

$e^{x^{2}} y = x^{2} + C$ の各項を $e^{x^{2}}$ で割り、簡約します。

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ステップ 8.1

$e^{x^{2}} y = x^{2} + C$ の各項を $e^{x^{2}}$ で割ります。

$\frac{e^{x^{2}} y}{e^{x^{2}}} = \frac{x^{2}}{e^{x^{2}}} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

ステップ 8.2

左辺を簡約します。

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ステップ 8.2.1

$e^{x^{2}}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{e^{x^{2}} y}{e^{x^{2}}} = \frac{x^{2}}{e^{x^{2}}} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

ステップ 8.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{x^{2}}{e^{x^{2}}} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

微分積分 例

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