微分積分例

$\frac{d y}{d x} = 2 \cdot x - 3 \cdot y + 1$

ステップ 1

方程式の両辺に $3 \cdot y$ を足します。

$\frac{d y}{d x} + 3 \cdot y = 2 \cdot x + 1$

ステップ 2

$P (x) = 3$ のとき、積分因数は公式 $e^{\int P (x) d x}$ で定義されます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

積分を設定します。

$e^{\int 3 d x}$

ステップ 2.2

定数の法則を当てはめます。

$e^{3 x + C}$

ステップ 2.3

積分定数を削除します。

$e^{3 x}$

ステップ 3

各項に積分因数 $e^{3 x}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

各項に $e^{3 x}$ を掛けます。

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + e^{3 x} (3 \cdot y) = e^{3 x} (2 \cdot x) + e^{3 x} \cdot 1$

ステップ 3.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 e^{3 x} y = e^{3 x} (2 \cdot x) + e^{3 x} \cdot 1$

ステップ 3.3

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 e^{3 x} y = 2 e^{3 x} x + e^{3 x} \cdot 1$

ステップ 3.3.2

$e^{3 x}$ に $1$ をかけます。

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 e^{3 x} y = 2 e^{3 x} x + e^{3 x}$

ステップ 3.4

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 e^{3 x} y = 2 e^{3 x} x + e^{3 x}$ の因数を並べ替えます。

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 y e^{3 x} = 2 x e^{3 x} + e^{3 x}$

ステップ 4

左辺を積を微分した結果として書き換えます。

$\frac{d}{d x} [e^{3 x} y] = 2 x e^{3 x} + e^{3 x}$

ステップ 5

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{d}{d x} [e^{3 x} y] d x = \int 2 x e^{3 x} + e^{3 x} d x$

ステップ 6

左辺を積分します。

$e^{3 x} y = \int 2 x e^{3 x} + e^{3 x} d x$

ステップ 7

右辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

単一積分を複数積分に分割します。

$e^{3 x} y = \int 2 x e^{3 x} d x + \int e^{3 x} d x$

ステップ 7.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$e^{3 x} y = 2 \int x e^{3 x} d x + \int e^{3 x} d x$

ステップ 7.3

$u = x$ と $d v = e^{3 x}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$e^{3 x} y = 2 (x (\frac{1}{3} e^{3 x}) - \int \frac{1}{3} e^{3 x} d x) + \int e^{3 x} d x$

ステップ 7.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.4.1

$\frac{1}{3}$ と $e^{3 x}$ をまとめます。

$e^{3 x} y = 2 (x \frac{e^{3 x}}{3} - \int \frac{1}{3} e^{3 x} d x) + \int e^{3 x} d x$

ステップ 7.4.2

$x$ と $\frac{e^{3 x}}{3}$ をまとめます。

$e^{3 x} y = 2 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \int \frac{1}{3} e^{3 x} d x) + \int e^{3 x} d x$

ステップ 7.4.3

$\frac{1}{3}$ と $e^{3 x}$ をまとめます。

$e^{3 x} y = 2 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \int \frac{e^{3 x}}{3} d x) + \int e^{3 x} d x$

ステップ 7.5

$\frac{1}{3}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{3}$ を積分の外に移動させます。

$e^{3 x} y = 2 (\frac{x e^{3 x}}{3} - (\frac{1}{3} \int e^{3 x} d x)) + \int e^{3 x} d x$

ステップ 7.6

$u_{1} = 3 x$ とします。次に $d u_{1} = 3 d x$ すると、 $\frac{1}{3} d u_{1} = d x$ です。 $u_{1}$ と $d$ $u_{1}$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.6.1

$u_{1} = 3 x$ とします。 $\frac{d u_{1}}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.6.1.1

$3 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [3 x]$

ステップ 7.6.1.2

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$3 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 7.6.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 \cdot 1$

ステップ 7.6.1.4

$3$ に $1$ をかけます。

$3$

ステップ 7.6.2

$u_{1}$ と $d u_{1}$ を利用して問題を書き換えます。

$e^{3 x} y = 2 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3} \int e^{u_{1}} \frac{1}{3} d u_{1}) + \int e^{3 x} d x$

ステップ 7.7

$e^{u_{1}}$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$e^{3 x} y = 2 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3} \int \frac{e^{u_{1}}}{3} d u_{1}) + \int e^{3 x} d x$

ステップ 7.8

$\frac{1}{3}$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{3}$ を積分の外に移動させます。

$e^{3 x} y = 2 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} \int e^{u_{1}} d u_{1})) + \int e^{3 x} d x$

ステップ 7.9

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.9.1

$\frac{1}{3}$ に $\frac{1}{3}$ をかけます。

$e^{3 x} y = 2 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3 \cdot 3} \int e^{u_{1}} d u_{1}) + \int e^{3 x} d x$

ステップ 7.9.2

$3$ に $3$ をかけます。

$e^{3 x} y = 2 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} \int e^{u_{1}} d u_{1}) + \int e^{3 x} d x$

ステップ 7.10

$e^{u_{1}}$ の $u_{1}$ に関する積分は $e^{u_{1}}$ です。

$e^{3 x} y = 2 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u_{1}} + C)) + \int e^{3 x} d x$

ステップ 7.11

$u_{2} = 3 x$ とします。次に $d u_{2} = 3 d x$ すると、 $\frac{1}{3} d u_{2} = d x$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.11.1

$u_{2} = 3 x$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.11.1.1

$3 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [3 x]$

ステップ 7.11.1.2

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$3 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 7.11.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 \cdot 1$

ステップ 7.11.1.4

$3$ に $1$ をかけます。

$3$

ステップ 7.11.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$e^{3 x} y = 2 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u_{1}} + C)) + \int e^{u_{2}} \frac{1}{3} d u_{2}$

ステップ 7.12

$e^{u_{2}}$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$e^{3 x} y = 2 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u_{1}} + C)) + \int \frac{e^{u_{2}}}{3} d u_{2}$

ステップ 7.13

$\frac{1}{3}$ は $u_{2}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{3}$ を積分の外に移動させます。

$e^{3 x} y = 2 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u_{1}} + C)) + \frac{1}{3} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

ステップ 7.14

$e^{u_{2}}$ の $u_{2}$ に関する積分は $e^{u_{2}}$ です。

$e^{3 x} y = 2 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u_{1}} + C)) + \frac{1}{3} (e^{u_{2}} + C)$

ステップ 7.15

簡約します。

$e^{3 x} y = 2 (\frac{1}{3} x e^{3 x} - \frac{1}{9} e^{u_{1}}) + \frac{1}{3} e^{u_{2}} + C$

ステップ 7.16

各積分に置換変数を戻し入れます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.16.1

$u_{1}$ のすべての発生を $3 x$ で置き換えます。

$e^{3 x} y = 2 (\frac{1}{3} x e^{3 x} - \frac{1}{9} e^{3 x}) + \frac{1}{3} e^{u_{2}} + C$

ステップ 7.16.2

$u_{2}$ のすべての発生を $3 x$ で置き換えます。

$e^{3 x} y = 2 (\frac{1}{3} x e^{3 x} - \frac{1}{9} e^{3 x}) + \frac{1}{3} e^{3 x} + C$

ステップ 8

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1.1

$e^{3 x}$ と $\frac{1}{9}$ をまとめます。

$e^{3 x} y = 2 (\frac{1}{3} \cdot (x e^{3 x}) - \frac{e^{3 x}}{9}) + \frac{1}{3} \cdot e^{3 x} + C$

ステップ 8.1.2

括弧を削除します。

$e^{3 x} y = 2 (\frac{1}{3} \cdot x e^{3 x} - \frac{e^{3 x}}{9}) + \frac{1}{3} \cdot e^{3 x} + C$

ステップ 8.2

$e^{3 x} y = 2 (\frac{1}{3} \cdot (x e^{3 x}) - \frac{e^{3 x}}{9}) + \frac{1}{3} \cdot e^{3 x} + C$ の各項を $e^{3 x}$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1

$e^{3 x} y = 2 (\frac{1}{3} \cdot (x e^{3 x}) - \frac{e^{3 x}}{9}) + \frac{1}{3} \cdot e^{3 x} + C$ の各項を $e^{3 x}$ で割ります。

$\frac{e^{3 x} y}{e^{3 x}} = \frac{2 (\frac{1}{3} \cdot (x e^{3 x}) - \frac{e^{3 x}}{9})}{e^{3 x}} + \frac{\frac{1}{3} \cdot e^{3 x}}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

ステップ 8.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.2.1

$e^{3 x}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{e^{3 x} y}{e^{3 x}} = \frac{2 (\frac{1}{3} \cdot (x e^{3 x}) - \frac{e^{3 x}}{9})}{e^{3 x}} + \frac{\frac{1}{3} \cdot e^{3 x}}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

ステップ 8.2.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{2 (\frac{1}{3} \cdot (x e^{3 x}) - \frac{e^{3 x}}{9})}{e^{3 x}} + \frac{\frac{1}{3} \cdot e^{3 x}}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

ステップ 8.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.3.1

公分母の分子をまとめます。

$y = \frac{2 (\frac{1}{3} \cdot (x e^{3 x}) - \frac{e^{3 x}}{9}) + \frac{1}{3} \cdot e^{3 x} + C}{e^{3 x}}$

ステップ 8.2.3.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.3.2.1

$\frac{1}{3} (x e^{3 x})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.3.2.1.1

$x$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$y = \frac{2 (\frac{x}{3} e^{3 x} - \frac{e^{3 x}}{9}) + \frac{1}{3} \cdot e^{3 x} + C}{e^{3 x}}$

ステップ 8.2.3.2.1.2

$\frac{x}{3}$ と $e^{3 x}$ をまとめます。

$y = \frac{2 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{e^{3 x}}{9}) + \frac{1}{3} \cdot e^{3 x} + C}{e^{3 x}}$

ステップ 8.2.3.2.2

分配則を当てはめます。

$y = \frac{2 \frac{x e^{3 x}}{3} + 2 (- \frac{e^{3 x}}{9}) + \frac{1}{3} \cdot e^{3 x} + C}{e^{3 x}}$

ステップ 8.2.3.2.3

$2$ と $\frac{x e^{3 x}}{3}$ をまとめます。

$y = \frac{\frac{2 (x e^{3 x})}{3} + 2 (- \frac{e^{3 x}}{9}) + \frac{1}{3} \cdot e^{3 x} + C}{e^{3 x}}$

ステップ 8.2.3.2.4

$2 (- \frac{e^{3 x}}{9})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.3.2.4.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$y = \frac{\frac{2 (x e^{3 x})}{3} - 2 \frac{e^{3 x}}{9} + \frac{1}{3} \cdot e^{3 x} + C}{e^{3 x}}$

ステップ 8.2.3.2.4.2

$- 2$ と $\frac{e^{3 x}}{9}$ をまとめます。

$y = \frac{\frac{2 (x e^{3 x})}{3} + \frac{- 2 e^{3 x}}{9} + \frac{1}{3} \cdot e^{3 x} + C}{e^{3 x}}$

ステップ 8.2.3.2.5

分数の前に負数を移動させます。

$y = \frac{\frac{2 x e^{3 x}}{3} - \frac{2 e^{3 x}}{9} + \frac{1}{3} \cdot e^{3 x} + C}{e^{3 x}}$

ステップ 8.2.3.2.6

$\frac{1}{3}$ と $e^{3 x}$ をまとめます。

$y = \frac{\frac{2 x e^{3 x}}{3} - \frac{2 e^{3 x}}{9} + \frac{e^{3 x}}{3} + C}{e^{3 x}}$

ステップ 8.2.3.3

$\frac{e^{3 x}}{3}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$y = \frac{\frac{2 x e^{3 x}}{3} - \frac{2 e^{3 x}}{9} + \frac{e^{3 x}}{3} \cdot \frac{3}{3} + C}{e^{3 x}}$

ステップ 8.2.3.4

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $9$ を公分母とする式で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.3.4.1

$\frac{e^{3 x}}{3}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$y = \frac{\frac{2 x e^{3 x}}{3} - \frac{2 e^{3 x}}{9} + \frac{e^{3 x} \cdot 3}{3 \cdot 3} + C}{e^{3 x}}$

ステップ 8.2.3.4.2

$3$ に $3$ をかけます。

$y = \frac{\frac{2 x e^{3 x}}{3} - \frac{2 e^{3 x}}{9} + \frac{e^{3 x} \cdot 3}{9} + C}{e^{3 x}}$

ステップ 8.2.3.5

公分母の分子をまとめます。

$y = \frac{\frac{2 x e^{3 x}}{3} + \frac{- 2 e^{3 x} + e^{3 x} \cdot 3}{9} + C}{e^{3 x}}$

ステップ 8.2.3.6

$- 2 e^{3 x}$ と $e^{3 x} \cdot 3$ をたし算します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.3.6.1

$e^{3 x}$ と $3$ を並べ替えます。

$y = \frac{\frac{2 x e^{3 x}}{3} + \frac{- 2 e^{3 x} + 3 \cdot e^{3 x}}{9} + C}{e^{3 x}}$

ステップ 8.2.3.6.2

$- 2 e^{3 x}$ と $3 \cdot e^{3 x}$ をたし算します。

$y = \frac{\frac{2 x e^{3 x}}{3} + \frac{e^{3 x}}{9} + C}{e^{3 x}}$

ステップ 8.2.3.7

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.3.7.1

$\frac{2 x e^{3 x}}{3}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$y = \frac{\frac{2 x e^{3 x}}{3} \cdot \frac{3}{3} + \frac{e^{3 x}}{9} + C}{e^{3 x}}$

ステップ 8.2.3.7.2

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $9$ を公分母とする式で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.3.7.2.1

$\frac{2 x e^{3 x}}{3}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$y = \frac{\frac{2 x e^{3 x} \cdot 3}{3 \cdot 3} + \frac{e^{3 x}}{9} + C}{e^{3 x}}$

ステップ 8.2.3.7.2.2

$3$ に $3$ をかけます。

$y = \frac{\frac{2 x e^{3 x} \cdot 3}{9} + \frac{e^{3 x}}{9} + C}{e^{3 x}}$

ステップ 8.2.3.7.3

公分母の分子をまとめます。

$y = \frac{\frac{2 x e^{3 x} \cdot 3 + e^{3 x}}{9} + C}{e^{3 x}}$

ステップ 8.2.3.7.4

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.3.7.4.1

$e^{3 x}$ を $2 x e^{3 x} \cdot 3 + e^{3 x}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.3.7.4.1.1

$e^{3 x}$ を $2 x e^{3 x} \cdot 3$ で因数分解します。

$y = \frac{\frac{e^{3 x} (2 x \cdot 3) + e^{3 x}}{9} + C}{e^{3 x}}$

ステップ 8.2.3.7.4.1.2

$1$ を掛けます。

$y = \frac{\frac{e^{3 x} (2 x \cdot 3) + e^{3 x} \cdot 1}{9} + C}{e^{3 x}}$

ステップ 8.2.3.7.4.1.3

$e^{3 x}$ を $e^{3 x} (2 x \cdot 3) + e^{3 x} \cdot 1$ で因数分解します。

$y = \frac{\frac{e^{3 x} (2 x \cdot 3 + 1)}{9} + C}{e^{3 x}}$

ステップ 8.2.3.7.4.2

$3$ に $2$ をかけます。

$y = \frac{\frac{e^{3 x} (6 x + 1)}{9} + C}{e^{3 x}}$

ステップ 8.2.3.7.5

$C$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{9}{9}$ を掛けます。

$y = \frac{\frac{e^{3 x} (6 x + 1)}{9} + C \cdot \frac{9}{9}}{e^{3 x}}$

ステップ 8.2.3.7.6

$C$ と $\frac{9}{9}$ をまとめます。

$y = \frac{\frac{e^{3 x} (6 x + 1)}{9} + \frac{C \cdot 9}{9}}{e^{3 x}}$

ステップ 8.2.3.7.7

公分母の分子をまとめます。

$y = \frac{\frac{e^{3 x} (6 x + 1) + C \cdot 9}{9}}{e^{3 x}}$

ステップ 8.2.3.7.8

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.3.7.8.1

分配則を当てはめます。

$y = \frac{\frac{e^{3 x} (6 x) + e^{3 x} \cdot 1 + C \cdot 9}{9}}{e^{3 x}}$

ステップ 8.2.3.7.8.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$y = \frac{\frac{6 e^{3 x} x + e^{3 x} \cdot 1 + C \cdot 9}{9}}{e^{3 x}}$

ステップ 8.2.3.7.8.3

$e^{3 x}$ に $1$ をかけます。

$y = \frac{\frac{6 e^{3 x} x + e^{3 x} + C \cdot 9}{9}}{e^{3 x}}$

ステップ 8.2.3.7.8.4

$9$ を $C$ の左に移動させます。

$y = \frac{\frac{6 e^{3 x} x + e^{3 x} + 9 C}{9}}{e^{3 x}}$

ステップ 8.2.3.8

分子に分母の逆数を掛けます。

$y = \frac{6 e^{3 x} x + e^{3 x} + 9 C}{9} \cdot \frac{1}{e^{3 x}}$

ステップ 8.2.3.9

$\frac{6 e^{3 x} x + e^{3 x} + 9 C}{9}$ に $\frac{1}{e^{3 x}}$ をかけます。

$y = \frac{6 e^{3 x} x + e^{3 x} + 9 C}{9 e^{3 x}}$

ステップ 8.2.3.10

$\frac{6 e^{3 x} x + e^{3 x} + 9 C}{9 e^{3 x}}$ の因数を並べ替えます。

$y = \frac{6 x e^{3 x} + e^{3 x} + 9 C}{9 e^{3 x}}$

微分積分 例

微分積分例