微分積分例

$\frac{d y}{d x} = \frac{4}{x^{2} e^{3 y + 9}}$

ステップ 1

変数を分けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

因数をもう一度まとめます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{4}{x^{2}} \cdot \frac{1}{e^{3 y + 9}}$

ステップ 1.2

両辺に $e^{3 y + 9}$ を掛けます。

$e^{3 y + 9} \frac{d y}{d x} = e^{3 y + 9} (\frac{4}{x^{2}} \cdot \frac{1}{e^{3 y + 9}})$

ステップ 1.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

まとめる。

$e^{3 y + 9} \frac{d y}{d x} = e^{3 y + 9} \frac{4 \cdot 1}{x^{2} e^{3 y + 9}}$

ステップ 1.3.2

$e^{3 y + 9}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.2.1

$e^{3 y + 9}$ を $x^{2} e^{3 y + 9}$ で因数分解します。

$e^{3 y + 9} \frac{d y}{d x} = e^{3 y + 9} \frac{4 \cdot 1}{e^{3 y + 9} x^{2}}$

ステップ 1.3.2.2

共通因数を約分します。

$e^{3 y + 9} \frac{d y}{d x} = e^{3 y + 9} \frac{4 \cdot 1}{e^{3 y + 9} x^{2}}$

ステップ 1.3.2.3

式を書き換えます。

$e^{3 y + 9} \frac{d y}{d x} = \frac{4 \cdot 1}{x^{2}}$

ステップ 1.3.3

$4$ に $1$ をかけます。

$e^{3 y + 9} \frac{d y}{d x} = \frac{4}{x^{2}}$

ステップ 1.4

方程式を書き換えます。

$e^{3 y + 9} d y = \frac{4}{x^{2}} d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int e^{3 y + 9} d y = \int \frac{4}{x^{2}} d x$

ステップ 2.2

左辺を積分します。

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ステップ 2.2.1

$u = 3 y + 9$ とします。次に $d u = 3 d y$ すると、 $\frac{1}{3} d u = d y$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.2.1.1

$u = 3 y + 9$ とします。 $\frac{d u}{d y}$ を求めます。

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ステップ 2.2.1.1.1

$3 y + 9$ を微分します。

$\frac{d}{d y} [3 y + 9]$

ステップ 2.2.1.1.2

総和則では、 $3 y + 9$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [3 y] + \frac{d}{d y} [9]$ です。

$\frac{d}{d y} [3 y] + \frac{d}{d y} [9]$

ステップ 2.2.1.1.3

$\frac{d}{d y} [3 y]$ の値を求めます。

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ステップ 2.2.1.1.3.1

$3$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $3 y$ の微分係数は $3 \frac{d}{d y} [y]$ です。

$3 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [9]$

ステップ 2.2.1.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [9]$

ステップ 2.2.1.1.3.3

$3$ に $1$ をかけます。

$3 + \frac{d}{d y} [9]$

ステップ 2.2.1.1.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 2.2.1.1.4.1

$9$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $9$ の微分係数は $0$ です。

$3 + 0$

ステップ 2.2.1.1.4.2

$3$ と $0$ をたし算します。

$3$

ステップ 2.2.1.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int e^{u} \frac{1}{3} d u = \int \frac{4}{x^{2}} d x$

ステップ 2.2.2

$e^{u}$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$\int \frac{e^{u}}{3} d u = \int \frac{4}{x^{2}} d x$

ステップ 2.2.3

$\frac{1}{3}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{3}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{3} \int e^{u} d u = \int \frac{4}{x^{2}} d x$

ステップ 2.2.4

$e^{u}$ の $u$ に関する積分は $e^{u}$ です。

$\frac{1}{3} (e^{u} + C_{1}) = \int \frac{4}{x^{2}} d x$

ステップ 2.2.5

簡約します。

$\frac{1}{3} e^{u} + C_{1} = \int \frac{4}{x^{2}} d x$

ステップ 2.2.6

$u$ のすべての発生を $3 y + 9$ で置き換えます。

$\frac{1}{3} e^{3 y + 9} + C_{1} = \int \frac{4}{x^{2}} d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $4$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{3} e^{3 y + 9} + C_{1} = 4 \int \frac{1}{x^{2}} d x$

ステップ 2.3.2

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 2.3.2.1

$x^{2}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\frac{1}{3} e^{3 y + 9} + C_{1} = 4 \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

ステップ 2.3.2.2

${(x^{2})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.3.2.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{1}{3} e^{3 y + 9} + C_{1} = 4 \int x^{2 \cdot - 1} d x$

ステップ 2.3.2.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1}{3} e^{3 y + 9} + C_{1} = 4 \int x^{- 2} d x$

ステップ 2.3.3

べき乗則では、 $x^{- 2}$ の $x$ に関する積分は $- x^{- 1}$ です。

$\frac{1}{3} e^{3 y + 9} + C_{1} = 4 (- x^{- 1} + C_{2})$

ステップ 2.3.4

答えを簡約します。

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ステップ 2.3.4.1

$4 (- x^{- 1} + C_{2})$ を $4 (- \frac{1}{x}) + C_{2}$ に書き換えます。

$\frac{1}{3} e^{3 y + 9} + C_{1} = 4 (- \frac{1}{x}) + C_{2}$

ステップ 2.3.4.2

簡約します。

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ステップ 2.3.4.2.1

$- 1$ に $4$ をかけます。

$\frac{1}{3} e^{3 y + 9} + C_{1} = - 4 \frac{1}{x} + C_{2}$

ステップ 2.3.4.2.2

$- 4$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$\frac{1}{3} e^{3 y + 9} + C_{1} = \frac{- 4}{x} + C_{2}$

ステップ 2.3.4.2.3

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{3} e^{3 y + 9} + C_{1} = - \frac{4}{x} + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$\frac{1}{3} e^{3 y + 9} = - \frac{4}{x} + K$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式の両辺に $3$ を掛けます。

$3 (\frac{1}{3} e^{3 y + 9}) = 3 (- \frac{4}{x} + K)$

ステップ 3.2

方程式の両辺を簡約します。

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ステップ 3.2.1

左辺を簡約します。

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ステップ 3.2.1.1

$3 (\frac{1}{3} e^{3 y + 9})$ を簡約します。

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ステップ 3.2.1.1.1

$\frac{1}{3}$ と $e^{3 y + 9}$ をまとめます。

$3 \frac{e^{3 y + 9}}{3} = 3 (- \frac{4}{x} + K)$

ステップ 3.2.1.1.2

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

$3 \frac{e^{3 y + 9}}{3} = 3 (- \frac{4}{x} + K)$

ステップ 3.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

$e^{3 y + 9} = 3 (- \frac{4}{x} + K)$

ステップ 3.2.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1

$3 (- \frac{4}{x} + K)$ を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1.1

分配則を当てはめます。

$e^{3 y + 9} = 3 (- \frac{4}{x}) + 3 K$

ステップ 3.2.2.1.2

$3 (- \frac{4}{x})$ を掛けます。

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ステップ 3.2.2.1.2.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$e^{3 y + 9} = - 3 \frac{4}{x} + 3 K$

ステップ 3.2.2.1.2.2

$- 3$ と $\frac{4}{x}$ をまとめます。

$e^{3 y + 9} = \frac{- 3 \cdot 4}{x} + 3 K$

ステップ 3.2.2.1.2.3

$- 3$ に $4$ をかけます。

$e^{3 y + 9} = \frac{- 12}{x} + 3 K$

ステップ 3.2.2.1.3

分数の前に負数を移動させます。

$e^{3 y + 9} = - \frac{12}{x} + 3 K$

ステップ 3.3

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (e^{3 y + 9}) = \ln (- \frac{12}{x} + 3 K)$

ステップ 3.4

左辺を展開します。

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ステップ 3.4.1

$3 y + 9$ を対数の外に移動させて、 $\ln (e^{3 y + 9})$ を展開します。

$(3 y + 9) \ln (e) = \ln (- \frac{12}{x} + 3 K)$

ステップ 3.4.2

$e$ の自然対数は $1$ です。

$(3 y + 9) \cdot 1 = \ln (- \frac{12}{x} + 3 K)$

ステップ 3.4.3

$3 y + 9$ に $1$ をかけます。

$3 y + 9 = \ln (- \frac{12}{x} + 3 K)$

ステップ 3.5

方程式の両辺から $9$ を引きます。

$3 y = \ln (- \frac{12}{x} + 3 K) - 9$

ステップ 3.6

$3 y = \ln (- \frac{12}{x} + 3 K) - 9$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.6.1

$3 y = \ln (- \frac{12}{x} + 3 K) - 9$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 y}{3} = \frac{\ln (- \frac{12}{x} + 3 K)}{3} + \frac{- 9}{3}$

ステップ 3.6.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 y}{3} = \frac{\ln (- \frac{12}{x} + 3 K)}{3} + \frac{- 9}{3}$

ステップ 3.6.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{\ln (- \frac{12}{x} + 3 K)}{3} + \frac{- 9}{3}$

ステップ 3.6.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.3.1

$- 9$ を $3$ で割ります。

$y = \frac{\ln (- \frac{12}{x} + 3 K)}{3} - 3$

ステップ 4

積分定数を簡約します。

$y = \frac{\ln (- \frac{12}{x} + K)}{3} - 3$

微分積分 例

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