微分積分例

$\frac{d y}{d x} = x^{4} - x^{3} + x - 1$ , $f (0) = - 3$

ステップ 1

方程式を書き換えます。

$d y = (x^{4} - x^{3} + x - 1) d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int d y = \int x^{4} - x^{3} + x - 1 d x$

ステップ 2.2

定数の法則を当てはめます。

$y + C_{1} = \int x^{4} - x^{3} + x - 1 d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

単一積分を複数積分に分割します。

$y + C_{1} = \int x^{4} d x + \int - x^{3} d x + \int x d x + \int - 1 d x$

ステップ 2.3.2

べき乗則では、 $x^{4}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{5} x^{5}$ です。

$y + C_{1} = \frac{1}{5} x^{5} + C_{2} + \int - x^{3} d x + \int x d x + \int - 1 d x$

ステップ 2.3.3

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$y + C_{1} = \frac{1}{5} x^{5} + C_{2} - \int x^{3} d x + \int x d x + \int - 1 d x$

ステップ 2.3.4

べき乗則では、 $x^{3}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{4} x^{4}$ です。

$y + C_{1} = \frac{1}{5} x^{5} + C_{2} - (\frac{1}{4} x^{4} + C_{3}) + \int x d x + \int - 1 d x$

ステップ 2.3.5

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$y + C_{1} = \frac{1}{5} x^{5} + C_{2} - (\frac{1}{4} x^{4} + C_{3}) + \frac{1}{2} x^{2} + C_{4} + \int - 1 d x$

ステップ 2.3.6

$\frac{1}{4}$ と $x^{4}$ をまとめます。

$y + C_{1} = \frac{1}{5} x^{5} + C_{2} - (\frac{x^{4}}{4} + C_{3}) + \frac{1}{2} x^{2} + C_{4} + \int - 1 d x$

ステップ 2.3.7

定数の法則を当てはめます。

$y + C_{1} = \frac{1}{5} x^{5} + C_{2} - (\frac{x^{4}}{4} + C_{3}) + \frac{1}{2} x^{2} + C_{4} - x + C_{5}$

ステップ 2.3.8

簡約します。

$y + C_{1} = \frac{1}{5} x^{5} - \frac{1}{4} x^{4} + \frac{1}{2} x^{2} - x + C_{6}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$y = \frac{1}{5} x^{5} - \frac{1}{4} x^{4} + \frac{1}{2} x^{2} - x + K$

ステップ 3

初期条件を利用し、 $y = \frac{1}{5} x^{5} - \frac{1}{4} x^{4} + \frac{1}{2} x^{2} - x + K$ の $0$ を $x$ に、 $- 3$ を $y$ に代入し $K$ の値を求めます。

$- 3 = \frac{1}{5} \cdot 0^{5} - \frac{1}{4} \cdot 0^{4} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 0 + K$

ステップ 4

$K$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

方程式を $\frac{1}{5} \cdot 0^{5} - \frac{1}{4} \cdot 0^{4} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 0 + K = - 3$ として書き換えます。

$\frac{1}{5} \cdot 0^{5} - \frac{1}{4} \cdot 0^{4} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 0 + K = - 3$

ステップ 4.2

$\frac{1}{5} \cdot 0^{5} - \frac{1}{4} \cdot 0^{4} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 0 + K$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\frac{1}{5} \cdot 0 - \frac{1}{4} \cdot 0^{4} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 0 + K = - 3$

ステップ 4.2.1.2

$\frac{1}{5}$ に $0$ をかけます。

$0 - \frac{1}{4} \cdot 0^{4} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 0 + K = - 3$

ステップ 4.2.1.3

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$0 - \frac{1}{4} \cdot 0 + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 0 + K = - 3$

ステップ 4.2.1.4

$- \frac{1}{4} \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.4.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$0 + 0 (\frac{1}{4}) + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 0 + K = - 3$

ステップ 4.2.1.4.2

$0$ に $\frac{1}{4}$ をかけます。

$0 + 0 + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 0 + K = - 3$

ステップ 4.2.1.5

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$0 + 0 + \frac{1}{2} \cdot 0 - 0 + K = - 3$

ステップ 4.2.1.6

$\frac{1}{2}$ に $0$ をかけます。

$0 + 0 + 0 - 0 + K = - 3$

ステップ 4.2.1.7

$- 1$ に $0$ をかけます。

$0 + 0 + 0 + 0 + K = - 3$

ステップ 4.2.2

$0 + 0 + 0 + 0 + K$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1

$0$ と $0$ をたし算します。

$0 + 0 + 0 + K = - 3$

ステップ 4.2.2.2

$0$ と $0$ をたし算します。

$0 + 0 + K = - 3$

ステップ 4.2.2.3

$0$ と $0$ をたし算します。

$0 + K = - 3$

ステップ 4.2.2.4

$0$ と $K$ をたし算します。

$K = - 3$

ステップ 5

$- 3$ を $y = \frac{1}{5} x^{5} - \frac{1}{4} x^{4} + \frac{1}{2} x^{2} - x + K$ の中の $K$ に代入し簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$- 3$ を $K$ に代入します。

$y = \frac{1}{5} x^{5} - \frac{1}{4} x^{4} + \frac{1}{2} x^{2} - x - 3$

ステップ 5.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

$\frac{1}{5}$ と $x^{5}$ をまとめます。

$y = \frac{x^{5}}{5} - \frac{1}{4} x^{4} + \frac{1}{2} x^{2} - x - 3$

ステップ 5.2.2

$x^{4}$ と $\frac{1}{4}$ をまとめます。

$y = \frac{x^{5}}{5} - \frac{x^{4}}{4} + \frac{1}{2} x^{2} - x - 3$

ステップ 5.2.3

$\frac{1}{2}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$y = \frac{x^{5}}{5} - \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{2}}{2} - x - 3$

微分積分 例

微分積分例