微分積分例

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 y + x^{2} y}{x - 4 x y}$

ステップ 1

変数を分けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$y$ を $3 y + x^{2} y$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

$y$ を $3 y$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot 3 + x^{2} y}{x - 4 x y}$

ステップ 1.1.2

$y$ を $x^{2} y$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot 3 + y x^{2}}{x - 4 x y}$

ステップ 1.1.3

$y$ を $y \cdot 3 + y x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot (3 + x^{2})}{x - 4 x y}$

ステップ 1.1.4

$y$ に $3 + x^{2}$ をかけます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (3 + x^{2})}{x - 4 x y}$

ステップ 1.2

$x$ を $x - 4 x y$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (3 + x^{2})}{x^{1} - 4 x y}$

ステップ 1.2.2

$x$ を $x^{1}$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (3 + x^{2})}{x \cdot 1 - 4 x y}$

ステップ 1.2.3

$x$ を $- 4 x y$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (3 + x^{2})}{x \cdot 1 + x (- 4 y)}$

ステップ 1.2.4

$x$ を $x \cdot 1 + x (- 4 y)$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (3 + x^{2})}{x \cdot (1 - 4 y)}$

ステップ 1.2.5

$x$ に $1 - 4 y$ をかけます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (3 + x^{2})}{x (1 - 4 y)}$

ステップ 1.3

因数をもう一度まとめます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{1 - 4 y} \cdot \frac{3 + x^{2}}{x}$

ステップ 1.4

両辺に $\frac{1 - 4 y}{y}$ を掛けます。

$\frac{1 - 4 y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 - 4 y}{y} (\frac{y}{1 - 4 y} \cdot \frac{3 + x^{2}}{x})$

ステップ 1.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1

$\frac{y}{1 - 4 y}$ に $\frac{3 + x^{2}}{x}$ をかけます。

$\frac{1 - 4 y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 - 4 y}{y} \cdot \frac{y (3 + x^{2})}{(1 - 4 y) x}$

ステップ 1.5.2

$1 - 4 y$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.2.1

$1 - 4 y$ を $(1 - 4 y) x$ で因数分解します。

$\frac{1 - 4 y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 - 4 y}{y} \cdot \frac{y (3 + x^{2})}{(1 - 4 y) (x)}$

ステップ 1.5.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{1 - 4 y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 - 4 y}{y} \cdot \frac{y (3 + x^{2})}{(1 - 4 y) x}$

ステップ 1.5.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1 - 4 y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{y (3 + x^{2})}{x}$

ステップ 1.5.3

$y$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{1 - 4 y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{y (3 + x^{2})}{x}$

ステップ 1.5.3.2

式を書き換えます。

$\frac{1 - 4 y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{3 + x^{2}}{x}$

ステップ 1.6

方程式を書き換えます。

$\frac{1 - 4 y}{y} d y = \frac{3 + x^{2}}{x} d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{1 - 4 y}{y} d y = \int \frac{3 + x^{2}}{x} d x$

ステップ 2.2

左辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

分数を複数の分数に分割します。

$\int \frac{1}{y} + \frac{- 4 y}{y} d y = \int \frac{3 + x^{2}}{x} d x$

ステップ 2.2.2

単一積分を複数積分に分割します。

$\int \frac{1}{y} d y + \int \frac{- 4 y}{y} d y = \int \frac{3 + x^{2}}{x} d x$

ステップ 2.2.3

$y$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.1

共通因数を約分します。

$\int \frac{1}{y} d y + \int \frac{- 4 y}{y} d y = \int \frac{3 + x^{2}}{x} d x$

ステップ 2.2.3.2

$- 4$ を $1$ で割ります。

$\int \frac{1}{y} d y + \int - 4 d y = \int \frac{3 + x^{2}}{x} d x$

ステップ 2.2.4

$\frac{1}{y}$ の $y$ に関する積分は $\ln (| y |)$ です。

$\ln (| y |) + C_{1} + \int - 4 d y = \int \frac{3 + x^{2}}{x} d x$

ステップ 2.2.5

定数の法則を当てはめます。

$\ln (| y |) + C_{1} - 4 y + C_{2} = \int \frac{3 + x^{2}}{x} d x$

ステップ 2.2.6

簡約します。

$\ln (| y |) - 4 y + C_{3} = \int \frac{3 + x^{2}}{x} d x$

ステップ 2.2.7

項を並べ替えます。

$- 4 y + \ln (| y |) + C_{3} = \int \frac{3 + x^{2}}{x} d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

分数を複数の分数に分割します。

$- 4 y + \ln (| y |) + C_{3} = \int \frac{3}{x} + \frac{x^{2}}{x} d x$

ステップ 2.3.2

単一積分を複数積分に分割します。

$- 4 y + \ln (| y |) + C_{3} = \int \frac{3}{x} d x + \int \frac{x^{2}}{x} d x$

ステップ 2.3.3

$x^{2}$ と $x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.1

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$- 4 y + \ln (| y |) + C_{3} = \int \frac{3}{x} d x + \int \frac{x \cdot x}{x} d x$

ステップ 2.3.3.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$- 4 y + \ln (| y |) + C_{3} = \int \frac{3}{x} d x + \int \frac{x \cdot x}{x^{1}} d x$

ステップ 2.3.3.2.2

$x$ を $x^{1}$ で因数分解します。

$- 4 y + \ln (| y |) + C_{3} = \int \frac{3}{x} d x + \int \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} d x$

ステップ 2.3.3.2.3

共通因数を約分します。

$- 4 y + \ln (| y |) + C_{3} = \int \frac{3}{x} d x + \int \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} d x$

ステップ 2.3.3.2.4

式を書き換えます。

$- 4 y + \ln (| y |) + C_{3} = \int \frac{3}{x} d x + \int \frac{x}{1} d x$

ステップ 2.3.3.2.5

$x$ を $1$ で割ります。

$- 4 y + \ln (| y |) + C_{3} = \int \frac{3}{x} d x + \int x d x$

ステップ 2.3.4

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $3$ を積分の外に移動させます。

$- 4 y + \ln (| y |) + C_{3} = 3 \int \frac{1}{x} d x + \int x d x$

ステップ 2.3.5

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$- 4 y + \ln (| y |) + C_{3} = 3 (\ln (| x |) + C_{4}) + \int x d x$

ステップ 2.3.6

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$- 4 y + \ln (| y |) + C_{3} = 3 (\ln (| x |) + C_{4}) + \frac{1}{2} x^{2} + C_{5}$

ステップ 2.3.7

簡約します。

$- 4 y + \ln (| y |) + C_{3} = 3 \ln (| x |) + \frac{1}{2} x^{2} + C_{6}$

ステップ 2.3.8

項を並べ替えます。

$- 4 y + \ln (| y |) + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} + 3 \ln (| x |) + C_{6}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$- 4 y + \ln (| y |) = \frac{1}{2} x^{2} + 3 \ln (| x |) + C$

微分積分 例

微分積分例